$0 \leqq \theta < 2\pi$ のとき、関数 $y = \sin^2 \theta - \cos \theta$ の最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

$0 \leqq \theta < 2\pi$ のとき、関数 $y = \sin^2 \theta - \cos \theta$ の最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を $\cos \theta$ のみの関数として表す。$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ より、

$$y = 1 - \cos^2 \theta - \cos \theta$$

ここで、$t = \cos \theta$ とおくと、$-1 \leqq t \leqq 1$ であり、

$$y = 1 - t^2 - t = -t^2 - t + 1 = -\left( t + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{5}{4}$$

この関数は $t = -\frac{1}{2}$ のとき最大値 $\frac{5}{4}$ をとり、$t = 1$ のとき最小値 $-1$ をとる。

(i) $t = -\frac{1}{2}$ のとき、$\cos \theta = -\frac{1}{2}$ より、$\theta = \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi$

このとき、最大値 $y = \frac{5}{4}$

(ii) $t = 1$ のとき、$\cos \theta = 1$ より、$\theta = 0$

このとき、最小値 $y = -1$

3. 最終的な答え

最大値：$\frac{5}{4}$ ($\theta = \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi$ のとき)

最小値：$-1$ ($\theta = 0$ のとき)