与えられた問題は、逆正弦関数を含む関数の微分を求める問題です。具体的には、関数 $y = \arcsin(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}})$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた問題は、逆正弦関数を含む関数の微分を求める問題です。具体的には、関数 $y = \arcsin(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}})$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、逆正弦関数の微分公式を思い出します。

$\frac{d}{dx} \arcsin(u) = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \frac{du}{dx}$

ここで、$u = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ とおきます。

まず、$\frac{du}{dx}$ を計算します。これは商の微分公式を使用します。

$\frac{du}{dx} = \frac{\sqrt{1+x^2}(1) - x(\frac{1}{2}(1+x^2)^{-1/2}(2x))}{1+x^2}$

$\frac{du}{dx} = \frac{\sqrt{1+x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2}$

$\frac{du}{dx} = \frac{1+x^2 - x^2}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}$

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}}$

次に、$\sqrt{1-u^2}$ を計算します。

$1-u^2 = 1 - (\frac{x}{\sqrt{1+x^2}})^2 = 1 - \frac{x^2}{1+x^2} = \frac{1+x^2-x^2}{1+x^2} = \frac{1}{1+x^2}$

$\sqrt{1-u^2} = \sqrt{\frac{1}{1+x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

したがって、$\frac{d}{dx} \arcsin(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}) = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \frac{du}{dx} = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}} \cdot \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}} = \sqrt{1+x^2} \cdot \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}} = \frac{1}{1+x^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{1+x^2}$