関数 $f(x)$ と $g(x)$ が区間 $I$ で連続であるとき、以下のことを示す問題です。 (i) $|f(x)|$ は区間 $I$ で連続である。 (ii) $h(x) = \max\{f(x), g(x)\}$ とおくと、$h(x)$ は区間 $I$ で連続である。 (iii) $k(x) = \min\{f(x), g(x)\}$ とおくと、$k(x)$ は区間 $I$ で連続である。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ と $g(x)$ が区間 $I$ で連続であるとき、以下のことを示す問題です。

(i) $|f(x)|$ は区間 $I$ で連続である。

(ii) $h(x) = \max\{f(x), g(x)\}$ とおくと、$h(x)$ は区間 $I$ で連続である。

(iii) $k(x) = \min\{f(x), g(x)\}$ とおくと、$k(x)$ は区間 $I$ で連続である。

2. 解き方の手順

(i) 関数 $f(x)$ が区間 $I$ で連続であると仮定します。絶対値関数 $|x|$ は連続なので、連続関数の合成関数 $|f(x)|$ も区間 $I$ で連続となります。より厳密に証明するには、$\epsilon-\delta$ 論法を用いることができます。

(ii) $h(x) = \max\{f(x), g(x)\}$ を考えます。

$h(x)$ は次のように表すことができます。

$$h(x) = \frac{f(x) + g(x) + |f(x) - g(x)|}{2}$$

$f(x)$ と $g(x)$ が連続であるという仮定から、$f(x) + g(x)$ も連続です。また、$f(x) - g(x)$ も連続であり、(i)の結果から $|f(x) - g(x)|$ も連続です。したがって、連続関数の和と差、および定数倍は連続であるため、$h(x)$ は連続です。

(iii) $k(x) = \min\{f(x), g(x)\}$ を考えます。

$k(x)$ は次のように表すことができます。

$$k(x) = \frac{f(x) + g(x) - |f(x) - g(x)|}{2}$$

$f(x)$ と $g(x)$ が連続であるという仮定から、$f(x) + g(x)$ も連続です。また、$f(x) - g(x)$ も連続であり、(i)の結果から $|f(x) - g(x)|$ も連続です。したがって、連続関数の和と差、および定数倍は連続であるため、$k(x)$ は連続です。

3. 最終的な答え

(i) $|f(x)|$ は区間 $I$ で連続である。

(ii) $h(x) = \max\{f(x), g(x)\}$ は区間 $I$ で連続である。

(iii) $k(x) = \min\{f(x), g(x)\}$ は区間 $I$ で連続である。