与えられた数式は、逆三角関数を含む等式と、対数関数の微分に関するものです。 具体的には、 $\sin^{-1}(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}) = $ の部分と、 $(\log(x + \sqrt{1+x^2}))' = $ の部分について、等式が成り立つことを示すか、または右辺の値を求める必要があります。

1. 問題の内容

与えられた数式は、逆三角関数を含む等式と、対数関数の微分に関するものです。

具体的には、

$\sin^{-1}(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}) =$ の部分と、

$(\log(x + \sqrt{1+x^2}))' =$ の部分について、等式が成り立つことを示すか、または右辺の値を求める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、$\sin^{-1}(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}})$ について考えます。

$x = \tan{\theta}$ と置換します。このとき、$-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ です。

すると、$\sqrt{1+x^2} = \sqrt{1+\tan^2{\theta}} = \sqrt{\sec^2{\theta}} = |\sec{\theta}| = \sec{\theta}$ となります（$-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ の範囲で$\sec{\theta} > 0$なので）。

したがって、$\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{\tan{\theta}}{\sec{\theta}} = \frac{\sin{\theta}/\cos{\theta}}{1/\cos{\theta}} = \sin{\theta}$ となります。

よって、$\sin^{-1}(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}) = \sin^{-1}(\sin{\theta}) = \theta = \arctan{x}$ です。

次に、 $(\log(x + \sqrt{1+x^2}))'$ について考えます。

合成関数の微分公式を用いると、

$(\log(x + \sqrt{1+x^2}))' = \frac{1}{x + \sqrt{1+x^2}} \cdot (1 + \frac{1}{2\sqrt{1+x^2}} \cdot 2x)$

$= \frac{1}{x + \sqrt{1+x^2}} \cdot (1 + \frac{x}{\sqrt{1+x^2}})$

$= \frac{1}{x + \sqrt{1+x^2}} \cdot (\frac{\sqrt{1+x^2} + x}{\sqrt{1+x^2}})$

$= \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

3. 最終的な答え

$\sin^{-1}(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}) = \arctan{x}$

$(\log(x + \sqrt{1+x^2}))' = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$