関数 $f(\theta) = a\sin(b\theta + c) + d$ において、$a=b=1, c=d=0$ のとき、$y = \sin \theta$ のグラフが表示されている。$a, b, c, d$ のうち、いずれか一つの値だけを変化させたとき、次の (1)～(3) の変化が起こりうるのは、どの値を変化させたときか、それぞれすべて答える問題。ただし、$a$ と $b$ は $0$ の値をとらない。 (1) 関数 $f(\theta)$ の周期が変わった。 (2) 関数 $f(\theta)$ の最大値と最小値が変わった。 (3) 関数 $f(\theta)$ が奇関数から偶関数に変わった。

1. 問題の内容

関数 $f(\theta) = a\sin(b\theta + c) + d$ において、$a=b=1, c=d=0$ のとき、$y = \sin \theta$ のグラフが表示されている。$a, b, c, d$ のうち、いずれか一つの値だけを変化させたとき、次の (1)～(3) の変化が起こりうるのは、どの値を変化させたときか、それぞれすべて答える問題。ただし、$a$ と $b$ は $0$ の値をとらない。

(1) 関数 $f(\theta)$ の周期が変わった。

(2) 関数 $f(\theta)$ の最大値と最小値が変わった。

(3) 関数 $f(\theta)$ が奇関数から偶関数に変わった。

2. 解き方の手順

(1) 周期について：

$f(\theta) = a\sin(b\theta + c) + d$ の周期は $\frac{2\pi}{|b|}$ で与えられる。$b$ の値を変化させると周期が変わる。

(2) 最大値と最小値について：

$f(\theta)$ の最大値は $|a| + d$、最小値は $-|a| + d$ である。$a$ と $d$ の値を変化させると、最大値と最小値が変わる。

(3) 奇関数と偶関数について：

$f(\theta) = a\sin(b\theta + c) + d$ が奇関数から偶関数に変わる条件を考える。

現在の関数は $f(\theta) = \sin \theta$ であり、これは奇関数である。

$f(\theta)$ が偶関数になるためには、$f(\theta) = f(-\theta)$ が成り立つ必要がある。

$f(\theta) = a\sin(b\theta + c) + d$ を変化させたときに偶関数になるためには、

$c$ を変化させて $b\theta+c$ が偶関数となるように調整するか、$d$を変化させることによって関数全体を上下に平行移動させ、偶関数にしなければならない。

$\sin(\theta + c)$ は、$c = \pi/2$ のとき偶関数 $(\cos \theta)$ になる。また、$d$を変更すると、グラフ全体が上下に平行移動するため、偶関数になる可能性がある。

3. 最終的な答え

(1) 周期が変わる：$b$

(2) 最大値と最小値が変わる：$a, d$

(3) 奇関数から偶関数に変わる：$c, d$