半径Rの円に内接する四角形ABCDにおいて、AB = 1 + √3、BC = CD = 2、∠ABC = 60°である。 (1) ∠ADCの大きさを求めよ。 (2) ACの長さを求めよ。 (3) ADの長さを求めよ。 (4) Rの長さを求めよ。 (5) 四角形ABCDの面積を求めよ。 (6) θ = ∠DABとするとき、sinθの値を求めよ。 (7) BDの長さを求めよ。

1. 問題の内容

半径Rの円に内接する四角形ABCDにおいて、AB = 1 + √3、BC = CD = 2、∠ABC = 60°である。

(1) ∠ADCの大きさを求めよ。

(2) ACの長さを求めよ。

(3) ADの長さを求めよ。

(4) Rの長さを求めよ。

(5) 四角形ABCDの面積を求めよ。

(6) θ = ∠DABとするとき、sinθの値を求めよ。

(7) BDの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 四角形ABCDは円に内接するので、向かい合う角の和は180°である。したがって、

$\angle ADC = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$

(2) △ABCにおいて、余弦定理より、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cdot \cos{\angle ABC}$

$AC^2 = (1 + \sqrt{3})^2 + 2^2 - 2(1 + \sqrt{3}) \cdot 2 \cdot \cos{60^{\circ}}$

$AC^2 = 1 + 2\sqrt{3} + 3 + 4 - 2(1 + \sqrt{3}) \cdot 2 \cdot \frac{1}{2}$

$AC^2 = 8 + 2\sqrt{3} - 2 - 2\sqrt{3}$

$AC^2 = 6$

$AC = \sqrt{6}$

(3) △ADCにおいて、余弦定理より、

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2AD \cdot CD \cdot \cos{\angle ADC}$

$(\sqrt{6})^2 = AD^2 + 2^2 - 2AD \cdot 2 \cdot \cos{120^{\circ}}$

$6 = AD^2 + 4 - 4AD \cdot (-\frac{1}{2})$

$AD^2 + 2AD - 2 = 0$

AD > 0なので、解の公式より、

$AD = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$

$AD > 0$より、

$AD = -1 + \sqrt{3}$

(4) 正弦定理より、

$\frac{AC}{\sin{\angle ABC}} = 2R$

$\frac{\sqrt{6}}{\sin{60^{\circ}}} = 2R$

$\frac{\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$

$\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 2R$

$2\sqrt{2} = 2R$

$R = \sqrt{2}$

(5) 四角形ABCDの面積Sは、△ABCの面積と△ADCの面積の和である。

$S = \frac{1}{2}AB \cdot BC \cdot \sin{\angle ABC} + \frac{1}{2}AD \cdot CD \cdot \sin{\angle ADC}$

$S = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{3}) \cdot 2 \cdot \sin{60^{\circ}} + \frac{1}{2}(-1 + \sqrt{3}) \cdot 2 \cdot \sin{120^{\circ}}$

$S = (1 + \sqrt{3}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + (-1 + \sqrt{3}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$S = \frac{\sqrt{3} + 3}{2} + \frac{-\sqrt{3} + 3}{2}$

$S = \frac{6}{2} = 3$

(6) △ABDにおいて、余弦定理より

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2AB \cdot AD \cos{\theta}$

△BCDにおいて、余弦定理より

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2BC \cdot CD \cos{\angle BCD}$

∠BCD = 180 - θなので、

$BD^2 = BC^2 + CD^2 + 2BC \cdot CD \cos{\theta}$

$BD^2 = 2^2 + 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot 2 \cos{\theta} = 8 + 8 \cos{\theta}$

$AB^2 + AD^2 - 2AB \cdot AD \cos{\theta} = (1 + \sqrt{3})^2 + (\sqrt{3} - 1)^2 - 2(1+\sqrt{3})(\sqrt{3}-1)\cos{\theta}$

$= 1 + 2\sqrt{3} + 3 + 3 - 2\sqrt{3} + 1 - 2(3 - 1) \cos{\theta}$

$= 8 - 4 \cos{\theta}$

$8 + 8 \cos{\theta} = 8 - 4 \cos{\theta}$

$12 \cos{\theta} = 0$

$\cos{\theta} = 0$

θは0°から180°の間にある角なので、$\theta = 90^{\circ}$

したがって、$\sin{\theta} = \sin{90^{\circ}} = 1$

(7) $BD^2 = 8 + 8 \cos{\theta} = 8 + 8(0) = 8$

$BD = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) ∠ADC = 120°

(2) AC = √6

(3) AD = -1 + √3

(4) R = √2

(5) 四角形ABCDの面積 = 3

(6) sinθ = 1

(7) BD = 2√2