一辺の長さが2の正三角形ABCにおいて、辺AB上に点P、辺AC上に点Qがあり、$BP = AQ$が成立している。$BP = 2t$とするとき、内積$\vec{BQ} \cdot \vec{CP}$を$t$を用いて表し、さらに$\vec{BQ} \cdot \vec{CP}$の最大値と最小値を求める問題である。

1. 問題の内容

一辺の長さが2の正三角形ABCにおいて、辺AB上に点P、辺AC上に点Qがあり、$BP = AQ$が成立している。$BP = 2t$とするとき、内積$\vec{BQ} \cdot \vec{CP}$を$t$を用いて表し、さらに$\vec{BQ} \cdot \vec{CP}$の最大値と最小値を求める問題である。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{BQ} \cdot \vec{CP}$を$t$を用いて表す。

$\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AC} = \vec{c}$とおくと、$\vec{AP} = \vec{AB} - \vec{BP} = \vec{b} - 2t\frac{\vec{b}}{2} = (1-t)\vec{b}$であり、$\vec{AQ} = 2t\frac{\vec{c}}{2} = t\vec{c}$である。

よって、$\vec{BQ} = \vec{AQ} - \vec{AB} = t\vec{c} - \vec{b}$、$\vec{CP} = \vec{AP} - \vec{AC} = (1-t)\vec{b} - \vec{c}$となる。

したがって、

$\vec{BQ} \cdot \vec{CP} = (t\vec{c} - \vec{b}) \cdot ((1-t)\vec{b} - \vec{c})$

$= t(1-t)(\vec{c} \cdot \vec{b}) - t|\vec{c}|^2 - (1-t)|\vec{b}|^2 + (\vec{b} \cdot \vec{c})$

ここで、$|\vec{b}| = |\vec{c}| = 2$, $\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}||\vec{c}|\cos{60^\circ} = 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 2$であるから、

$\vec{BQ} \cdot \vec{CP} = 2t(1-t) - 4t - 4(1-t) + 2$

$= 2t - 2t^2 - 4t - 4 + 4t + 2$

$= -2t^2 + 2t - 2$

(2) $\vec{BQ} \cdot \vec{CP}$の最大値と最小値を求める。

$f(t) = -2t^2 + 2t - 2$とおくと、$f(t) = -2(t^2 - t) - 2 = -2(t - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} - 2 = -2(t - \frac{1}{2})^2 - \frac{3}{2}$となる。

$0 \le t \le 1$より、

$t = \frac{1}{2}$のとき最大値$-\frac{3}{2}$

$t = 0, 1$のとき最小値$-2$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{BQ} \cdot \vec{CP} = -2t^2 + 2t - 2$

(2) 最大値：$-\frac{3}{2}$、最小値：$-2$