$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ のとき、$\cos(180^\circ - \theta) = \frac{2}{5}$ である。このとき、$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ のとき、$\cos(180^\circ - \theta) = \frac{2}{5}$ である。このとき、$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\cos(180^\circ - \theta)$ の値を $\cos \theta$ で表す。

余角の公式より、$\cos(180^\circ - \theta) = -\cos \theta$ である。したがって、

$$-\cos \theta = \frac{2}{5}$$

よって、

$$\cos \theta = -\frac{2}{5}$$

(2) $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用して、$\sin \theta$ の値を求める。

$$\sin^2 \theta + \left(-\frac{2}{5}\right)^2 = 1$$

$$\sin^2 \theta + \frac{4}{25} = 1$$

$$\sin^2 \theta = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25}$$

$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ より、$\sin \theta \geq 0$ であるから、

$$\sin \theta = \sqrt{\frac{21}{25}} = \frac{\sqrt{21}}{5}$$

(3) $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を利用して、$\tan \theta$ の値を求める。

$$\tan \theta = \frac{\frac{\sqrt{21}}{5}}{-\frac{2}{5}} = \frac{\sqrt{21}}{5} \times \left(-\frac{5}{2}\right) = -\frac{\sqrt{21}}{2}$$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = \frac{\sqrt{21}}{5}$

$\cos \theta = -\frac{2}{5}$

$\tan \theta = -\frac{\sqrt{21}}{2}$