与えられた3次式 $x^3 + (2a+1)x^2 + (a^2+2a-1)x + (a^2-1)$ を因数分解する問題です。指示に従い、$a$について整理して因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた3次式 $x^3 + (2a+1)x^2 + (a^2+2a-1)x + (a^2-1)$ を因数分解する問題です。指示に従い、$a$について整理して因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$a$について整理します。

$x^3 + (2a+1)x^2 + (a^2+2a-1)x + (a^2-1)$

$= x^3 + x^2 + 2ax^2 + a^2x + 2ax - x + a^2 - 1$

$= x^3 + x^2 - x - 1 + (2x^2 + 2x)a + (x+1)a^2$

$= (x^3 + x^2 - x - 1) + (2x^2 + 2x)a + (x+1)a^2$

ここで、$x^3 + x^2 - x - 1$ を因数分解すると、

$x^3 + x^2 - x - 1 = x^2(x+1) - (x+1) = (x+1)(x^2-1) = (x+1)(x+1)(x-1) = (x+1)^2(x-1)$

また、$2x^2 + 2x = 2x(x+1)$

よって、与式は

$(x+1)^2(x-1) + 2x(x+1)a + (x+1)a^2$

$(x+1)$が共通因数なので、$(x+1)$でくくると

$(x+1)\{(x+1)(x-1) + 2xa + a^2\}$

$= (x+1)\{x^2 - 1 + 2xa + a^2\}$

$= (x+1)\{x^2 + 2ax + a^2 - 1\}$

$= (x+1)\{(x+a)^2 - 1\}$

$(x+a)^2 - 1$ は平方の差なので、因数分解できます。

$(x+a)^2 - 1 = (x+a+1)(x+a-1)$

したがって、

$(x+1)\{(x+a)^2 - 1\} = (x+1)(x+a+1)(x+a-1)$

3. 最終的な答え

$(x+1)(x+a+1)(x+a-1)$