複数の二次不等式を解く問題です。それぞれについて、まず対応する二次方程式を解き、それから不等式の解を求めます。

1. 問題の内容

複数の二次不等式を解く問題です。それぞれについて、まず対応する二次方程式を解き、それから不等式の解を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + 8x + 16 > 0$

まず、$x^2 + 8x + 16 = 0$ を解きます。これは $(x+4)^2 = 0$ と因数分解できるので、$x = -4$ となります。不等式 $x^2 + 8x + 16 > 0$ は、$(x+4)^2 > 0$ と書けます。これは $x = -4$ 以外のすべての実数で成立します。

(2) $x^2 - 6x + 9 \ge 0$

まず、$x^2 - 6x + 9 = 0$ を解きます。これは $(x-3)^2 = 0$ と因数分解できるので、$x = 3$ となります。不等式 $x^2 - 6x + 9 \ge 0$ は、$(x-3)^2 \ge 0$ と書けます。これはすべての実数 $x$ で成立します。

(3) $x^2 + 10x + 25 \le 0$

まず、$x^2 + 10x + 25 = 0$ を解きます。これは $(x+5)^2 = 0$ と因数分解できるので、$x = -5$ となります。不等式 $x^2 + 10x + 25 \le 0$ は、$(x+5)^2 \le 0$ と書けます。$(x+5)^2$ は常に0以上なので、この不等式を満たすのは $(x+5)^2 = 0$ の場合のみです。したがって、$x = -5$ のみが解となります。

(4) $x^2 - 16x + 64 < 0$

まず、$x^2 - 16x + 64 = 0$ を解きます。これは $(x-8)^2 = 0$ と因数分解できるので、$x = 8$ となります。不等式 $x^2 - 16x + 64 < 0$ は、$(x-8)^2 < 0$ と書けます。しかし、$(x-8)^2$ は常に0以上なので、この不等式を満たす実数 $x$ は存在しません。

(5) $x^2 - 3x + 4 > 0$

まず、$x^2 - 3x + 4 = 0$ を解きます。解の公式を用いると、

$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \times 1 \times 4}}{2 \times 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 16}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{-7}}{2}$

判別式が負なので、実数解は存在しません。$y = x^2 - 3x + 4$ は下に凸な放物線であり、x軸と交わらないので、常に $x^2 - 3x + 4 > 0$ です。したがって、すべての実数 $x$ が解となります。

(6) $x^2 + 4x + 6 < 0$

まず、$x^2 + 4x + 6 = 0$ を解きます。解の公式を用いると、

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \times 1 \times 6}}{2 \times 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 24}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{-8}}{2}$

判別式が負なので、実数解は存在しません。$y = x^2 + 4x + 6$ は下に凸な放物線であり、x軸と交わらないので、常に $x^2 + 4x + 6 > 0$ です。したがって、$x^2 + 4x + 6 < 0$ を満たす実数 $x$ は存在しません。

3. 最終的な答え

以下のように埋めます。

(1) (x + 4)^2 = 0, x = -4, x ≠ -4

(2) (x - 3)^2 = 0, x = 3, すべての実数

(3) (x + 5)^2 = 0, x = -5, x = -5

(4) (x - 8)^2 = 0, x = 8, 解なし

(5) $x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \times 1 \times 4}}{2 \times 1} = \frac{3 \pm \sqrt{-7}}{2}$, すべての実数

(6) $x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \times 1 \times 6}}{2 \times 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{-8}}{2}$, 解なし