与えられた式 $ac^2 - a^3 - a^2b + ab^2 + b^3 - bc^2$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $ac^2 - a^3 - a^2b + ab^2 + b^3 - bc^2$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、式を整理して、共通因数を見つけやすいように並べ替えます。

$ac^2 - a^3 - a^2b + ab^2 + b^3 - bc^2 = ac^2 - bc^2 - a^3 - a^2b + ab^2 + b^3$

$c^2$で括れる部分と、そうでない部分に分けます。

$c^2$で括れる部分をまとめると

$ac^2 - bc^2 = (a-b)c^2$

残りの部分をまとめると

$-a^3 - a^2b + ab^2 + b^3 = -a^2(a+b) + b^2(a+b) = (a+b)(-a^2 + b^2) = (a+b)(b-a)(b+a) = -(a-b)(a+b)^2$

したがって、与式は次のようになります。

$(a-b)c^2 - (a-b)(a+b)^2$

共通因数 $(a-b)$ で括ると

$(a-b)[c^2 - (a+b)^2]$

次に、$c^2 - (a+b)^2$ を因数分解します。これは、差の平方の公式 $x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$ が利用できます。

$c^2 - (a+b)^2 = (c + (a+b))(c - (a+b)) = (c+a+b)(c-a-b) = (a+b+c)(-a-b+c)$

よって、最終的な因数分解は次のようになります。

$(a-b)(a+b+c)(-a-b+c)$

3. 最終的な答え

$(a-b)(a+b+c)(-a-b+c)$