与えられた式 $a^4 + a^2c - ab^3 + abc + b^2c$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^4 + a^2c - ab^3 + abc + b^2c$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、式を整理します。項を並び替えて、因数分解しやすい形にします。

$a^4 + a^2c - ab^3 + abc + b^2c = a^4 - ab^3 + a^2c + abc + b^2c$

次に、項をグループ分けして、共通因数を見つけます。

$a^4 - ab^3 = a(a^3 - b^3)$

$a^2c + abc + b^2c = c(a^2 + ab + b^2)$

ここで、$a^3 - b^3$ は $(a-b)(a^2 + ab + b^2)$ と因数分解できます。したがって、

$a(a^3 - b^3) = a(a-b)(a^2 + ab + b^2)$

与式全体は、

$a(a-b)(a^2 + ab + b^2) + c(a^2 + ab + b^2)$

共通因数 $(a^2 + ab + b^2)$ でくくると、

$(a^2 + ab + b^2)[a(a-b) + c]$

$(a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + c)$

したがって、

$a^4 + a^2c - ab^3 + abc + b^2c = (a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + c)$

3. 最終的な答え

$(a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + c)$