SENSEI AI
About App

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\sin \theta \cos \theta = -\frac{12}{25}$ とする。このとき、$\sin \theta - \cos \theta$ の値を求め、さらに $\sin \theta + \cos \theta > 0$ のとき、$\sin \theta$ の値を求める。

三角関数三角関数三角比加法定理二次方程式
2025/4/21

1. 問題の内容

0∘≤θ≤180∘0^\circ \le \theta \le 180^\circ のとき、sin⁡θcos⁡θ=−1225\sin \theta \cos \theta = -\frac{12}{25} とする。このとき、sin⁡θ−cos⁡θ\sin \theta - \cos \theta の値を求め、さらに sin⁡θ+cos⁡θ>0\sin \theta + \cos \theta > 0 のとき、sin⁡θ\sin \theta の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) (sin⁡θ−cos⁡θ)2(\sin \theta - \cos \theta)^2 を計算する。
(sin⁡θ−cos⁡θ)2=sin⁡2θ−2sin⁡θcos⁡θ+cos⁡2θ(\sin \theta - \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta - 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta
=(sin⁡2θ+cos⁡2θ)−2sin⁡θcos⁡θ= (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) - 2 \sin \theta \cos \theta
sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 なので、
(sin⁡θ−cos⁡θ)2=1−2sin⁡θcos⁡θ(\sin \theta - \cos \theta)^2 = 1 - 2 \sin \theta \cos \theta
sin⁡θcos⁡θ=−1225\sin \theta \cos \theta = -\frac{12}{25} なので、
(sin⁡θ−cos⁡θ)2=1−2⋅(−1225)=1+2425=4925(\sin \theta - \cos \theta)^2 = 1 - 2 \cdot \left(-\frac{12}{25}\right) = 1 + \frac{24}{25} = \frac{49}{25}
sin⁡θ−cos⁡θ=±4925=±75\sin \theta - \cos \theta = \pm \sqrt{\frac{49}{25}} = \pm \frac{7}{5}
0∘≤θ≤180∘0^\circ \le \theta \le 180^\circ より、sin⁡θ≥0\sin \theta \ge 0。
sin⁡θ+cos⁡θ>0\sin \theta + \cos \theta > 0 である。
(sin⁡θ+cos⁡θ)2=sin⁡2θ+2sin⁡θcos⁡θ+cos⁡2θ=1+2sin⁡θcos⁡θ=1+2(−1225)=1−2425=125(\sin \theta + \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = 1 + 2 \sin \theta \cos \theta = 1 + 2 \left(-\frac{12}{25}\right) = 1 - \frac{24}{25} = \frac{1}{25}
sin⁡θ+cos⁡θ=±15\sin \theta + \cos \theta = \pm \frac{1}{5}
sin⁡θ+cos⁡θ>0\sin \theta + \cos \theta > 0 より、
sin⁡θ+cos⁡θ=15\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{5}
sin⁡θ−cos⁡θ=75\sin \theta - \cos \theta = \frac{7}{5} の場合：
sin⁡θ+cos⁡θ=15\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{5}
2式を足し合わせると、
2sin⁡θ=852 \sin \theta = \frac{8}{5}
sin⁡θ=45\sin \theta = \frac{4}{5}
cos⁡θ=15−45=−35\cos \theta = \frac{1}{5} - \frac{4}{5} = -\frac{3}{5}
sin⁡θcos⁡θ=45⋅(−35)=−1225\sin \theta \cos \theta = \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{12}{25} であり、条件を満たす。
sin⁡θ−cos⁡θ=−75\sin \theta - \cos \theta = -\frac{7}{5} の場合：
sin⁡θ+cos⁡θ=15\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{5}
2式を足し合わせると、
2sin⁡θ=−652 \sin \theta = -\frac{6}{5}
sin⁡θ=−35\sin \theta = -\frac{3}{5} となるが、これは sin⁡θ≥0\sin \theta \ge 0 に矛盾する。
したがって、sin⁡θ−cos⁡θ=75\sin \theta - \cos \theta = \frac{7}{5} であり、sin⁡θ=45\sin \theta = \frac{4}{5} である。

3. 最終的な答え

sin⁡θ−cos⁡θ=75\sin \theta - \cos \theta = \frac{7}{5}
sin⁡θ=45\sin \theta = \frac{4}{5}

「三角関数」の関連問題

(7) $\alpha$は第1象限の角、$\beta$は第3象限の角であり、$\sin\alpha = \frac{4}{5}$, $\cos\beta = -\frac{5}{13}$であるとき、$...

三角関数の加法定理三角関数の合成三角関数の相互関係
2025/4/9

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ のとき、$\cos 2\theta = \frac{7}{9}$ である。 (1) $\sin 2\theta$ の値を求める。 (2) 半角...

三角関数三角比加法定理半角の公式角度
2025/3/28

$\tan \theta = -1$のとき、$\sin \theta$の値を求めよ。ただし、$\theta$は鈍角とする。

三角関数三角比鈍角sincostan
2025/3/27

$0 < \theta < \pi$ のとき、$\sin \theta > \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\theta$ の範囲を $\frac{(61)}{(62)} \pi ...

三角関数不等式sin角度範囲
2025/3/20

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、次の等式を満たす $\theta$ を求めます。 (1) $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}...

三角関数三角比方程式角度sincostan
2025/3/13

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ であり、$\sin \alpha = \frac{12}{13}$ のとき、$\cos 2\alpha$ の値を求める問題です。

三角関数倍角の公式三角比
2025/3/10

$\tan \theta = 2$ のとき、$\frac{1}{1 + \sin \theta} + \frac{1}{1 - \sin \theta}$ の値を求める。

三角関数tansin相互関係
2025/3/10

$\sin\theta - \cos\theta = \frac{1}{2}$ のとき、以下の値を求めよ。 (1) $\sin\theta \cos\theta$ (2) $\sin^3\theta ...

三角関数三角恒等式因数分解
2025/3/9

$\tan 165^\circ$ の値を計算する問題です。画像の計算過程は途中までで、$\frac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}}$ まで簡略化されています。

三角関数加法定理tan有理化
2025/3/9

$\cos{\frac{\pi}{8}} (\cos{22.5^\circ})$ の値を求めます。

三角関数半角の公式角度cosラジアン度数法
2025/3/9