小学生3人、中学生2人、高校生1人の合計6人が横一列に並ぶとき、次の条件を満たす並び方の総数を求める。 (1) 両端のうち少なくとも一端が中学生である。 (2) 高校生の右隣が小学生である。 (3) 小学生のどの2人も隣り合わない。

1. 問題の内容

小学生3人、中学生2人、高校生1人の合計6人が横一列に並ぶとき、次の条件を満たす並び方の総数を求める。

(1) 両端のうち少なくとも一端が中学生である。

(2) 高校生の右隣が小学生である。

(3) 小学生のどの2人も隣り合わない。

2. 解き方の手順

(1)

まず、6人全員の並び方の総数を求める。これは $6! = 720$ 通りである。

次に、両端がどちらも中学生でない並び方を求める。両端が小学生の並び方は、$3 \times 2 \times 4! = 144$ 通り。片方が小学生、もう片方が高校生の並び方は、$3 \times 1 \times 4! \times 2 = 144$ 通り。両端が高校生の並び方は、$1 \times 5! = 120$ 通りなので、$6!- (3 \cdot 2 + 3 \cdot 1 \cdot 2)4!/2! +1 \times 5 =720-288=432$ではない。

両端が小学生の場合の数は $3 \times 2 \times 4! = 144$。両端が高校生の場合の数は $1 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1= 120$。片方が高校生、もう片方が小学生の場合の数は $1*3 * 4!* 2 = 144$ なので、両端の少なくとも片方が中学生でない並び方は $144 + 120=264$。

全パターンから、両端が中学生でないパターンを引くと、両端の少なくとも一方が中学生である並び方は $720 - (3 \times 2 \times 4! + 3 \times 1 \times 4! \times 2 + 1 \times 5!) = 720 - (144 + 144) = 720 - 288 = 432$ 。

$6! = 720$

両端が小学生の場合: $3 \times 2 \times 4! = 144$

両端が高校生の場合: $1 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$

片方が小学生、もう片方が高校生の場合: $3 \times 1 \times 4! \times 2 = 144$

よって、$720 - (144+144+120)=720-(408)=312$

両端がともに中学生でない並び方は、$4 \times 3 \times 4! = 288$　通りではない。

$6! = 720$

少なくとも一端が中学生ではない並び方は、両端が小学生、小学生と高校生、高校生の場合がある。

$3/6 \times (144)$

両端が小学生である確率は $3/6 \times 2/5$

両端が中学生でない並び方は、全通りから両端が中学生の場合を引けば良い。

$6! = 720$

両端が中学生である並び方: $2 \times 1 \times 4! = 48$

両端の少なくとも一方が中学生である並び方: $720 - 48 = 672$ ではない。

両端のうち少なくとも一端が中学生である場合：

全体から両端が中学生でない場合を引く。

両端が小学生の並び方: $3P2 \times 4! = 6 \times 24 = 144$

両端が高校生、小学生の並び方: $3 \times 1 \times 2 \times 4! = 6 \times 24 = 144$

両端が高校生の並び方: $1 \times 5! = 120$

よって$720 - (144 + 144 + 120) = 720 - 408 = 312$

(2)

高校生の右隣が小学生である並び方を考える。

高校生の位置で場合分けする。

i) 高校生が右端の場合：$5! = 120$通り。

ii) 高校生が右端でない場合：高校生は左から1番目から5番目のいずれかの位置になる。高校生の右隣は小学生なので、高校生、小学生のペアを固定し、残りの4人の並び方を考える。

ペアの位置は5通り。ペアの並び方は1通り。残りの4人の並び方は4!通り。ただし、3人の小学生から1人を選ぶので3通り。よって、$5 \times 3 \times 4! = 360$通りではない。

高校生の位置を固定する。

1. 高校生が6番目にいる時、右隣はいないため$5! = 120$通り。

2. 高校生が1番目から5番目にいる時、右隣は小学生になる。

小学生の選び方:3通り

高校生の位置:5通り

残り4人の並び方:4! = 24通り

なので、$3 \times 5 \times 4! = 15 \times 24 = 360$通り。

よって、$120 + 360 = 480$ 通り。

(3)

小学生が隣り合わないように並べる。

まず、中学生2人と高校生1人を並べる。これは3! = 6通り。

この3人の間に小学生を入れる場所は4箇所ある。

小学生3人を4箇所に入れる方法は $4P3 = 4 \times 3 \times 2 = 24$通り。

よって、$6 \times 24 = 144$通り。

3. 最終的な答え

(1) 312

(2) 480

(3) 144