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小学生3人、中学生2人、高校生1人の合計6人が横一列に並ぶとき、次の条件を満たす並び方の総数を求める。 (1) 両端のうち少なくとも一端が中学生である。 (2) 高校生の右隣が小学生である。 (3) 小学生のどの2人も隣り合わない。

離散数学順列組み合わせ場合の数条件付き確率
2025/4/21

1. 問題の内容

小学生3人、中学生2人、高校生1人の合計6人が横一列に並ぶとき、次の条件を満たす並び方の総数を求める。
(1) 両端のうち少なくとも一端が中学生である。
(2) 高校生の右隣が小学生である。
(3) 小学生のどの2人も隣り合わない。

2. 解き方の手順

(1)
まず、6人全員の並び方の総数を求める。これは 6!=7206! = 720 通りである。
次に、両端がどちらも中学生でない並び方を求める。両端が小学生の並び方は、3×2×4!=1443 \times 2 \times 4! = 144 通り。片方が小学生、もう片方が高校生の並び方は、3×1×4!×2=1443 \times 1 \times 4! \times 2 = 144 通り。両端が高校生の並び方は、1×5!=1201 \times 5! = 120 通りなので、6!−(3⋅2+3⋅1⋅2)4!/2!+1×5=720−288=4326!- (3 \cdot 2 + 3 \cdot 1 \cdot 2)4!/2! +1 \times 5 =720-288=432 ではない。
両端が小学生の場合の数は 3×2×4!=1443 \times 2 \times 4! = 144。両端が高校生の場合の数は 1×5×4×3×2×1=1201 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1= 120。片方が高校生、もう片方が小学生の場合の数は 1∗3∗4!∗2=1441*3 * 4!* 2 = 144 なので、両端の少なくとも片方が中学生でない並び方は 144+120=264144 + 120=264。
全パターンから、両端が中学生でないパターンを引くと、両端の少なくとも一方が中学生である並び方は 720−(3×2×4!+3×1×4!×2+1×5!)=720−(144+144)=720−288=432720 - (3 \times 2 \times 4! + 3 \times 1 \times 4! \times 2 + 1 \times 5!) = 720 - (144 + 144) = 720 - 288 = 432 。
6!=7206! = 720
両端が小学生の場合: 3×2×4!=1443 \times 2 \times 4! = 144
両端が高校生の場合: 1×5×4×3×2=1201 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120
片方が小学生、もう片方が高校生の場合: 3×1×4!×2=1443 \times 1 \times 4! \times 2 = 144
よって、720−(144+144+120)=720−(408)=312720 - (144+144+120)=720-(408)=312
両端がともに中学生でない並び方は、4×3×4!=2884 \times 3 \times 4! = 288　通りではない。
6!=7206! = 720
少なくとも一端が中学生ではない並び方は、両端が小学生、小学生と高校生、高校生の場合がある。
3/6×(144)3/6 \times (144)
両端が小学生である確率は 3/6×2/53/6 \times 2/5
両端が中学生でない並び方は、全通りから両端が中学生の場合を引けば良い。
6!=7206! = 720
両端が中学生である並び方: 2×1×4!=482 \times 1 \times 4! = 48
両端の少なくとも一方が中学生である並び方: 720−48=672720 - 48 = 672 ではない。
両端のうち少なくとも一端が中学生である場合：
全体から両端が中学生でない場合を引く。
両端が小学生の並び方: 3P2×4!=6×24=1443P2 \times 4! = 6 \times 24 = 144
両端が高校生、小学生の並び方: 3×1×2×4!=6×24=1443 \times 1 \times 2 \times 4! = 6 \times 24 = 144
両端が高校生の並び方: 1×5!=1201 \times 5! = 120
よって720−(144+144+120)=720−408=312720 - (144 + 144 + 120) = 720 - 408 = 312
(2)
高校生の右隣が小学生である並び方を考える。
高校生の位置で場合分けする。
i) 高校生が右端の場合：5!=1205! = 120通り。
ii) 高校生が右端でない場合：高校生は左から1番目から5番目のいずれかの位置になる。高校生の右隣は小学生なので、高校生、小学生のペアを固定し、残りの4人の並び方を考える。
ペアの位置は5通り。ペアの並び方は1通り。残りの4人の並び方は4!通り。ただし、3人の小学生から1人を選ぶので3通り。よって、5×3×4!=360 5 \times 3 \times 4! = 360通りではない。
高校生の位置を固定する。

1. 高校生が6番目にいる時、右隣はいないため$5! = 120$通り。

2. 高校生が1番目から5番目にいる時、右隣は小学生になる。

小学生の選び方:3通り
高校生の位置:5通り
残り4人の並び方:4! = 24通り
なので、3×5×4!=15×24=360 3 \times 5 \times 4! = 15 \times 24 = 360 通り。
よって、120+360=480120 + 360 = 480 通り。
(3)
小学生が隣り合わないように並べる。
まず、中学生2人と高校生1人を並べる。これは3! = 6通り。
この3人の間に小学生を入れる場所は4箇所ある。
小学生3人を4箇所に入れる方法は 4P3=4×3×2=244P3 = 4 \times 3 \times 2 = 24通り。
よって、6×24=1446 \times 24 = 144通り。

3. 最終的な答え

(1) 312
(2) 480
(3) 144

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