(1) 1から5までの数字が書かれた5個の玉を、空の箱がないようにA, Bの2つの箱に入れる方法は何通りあるか。 (2) 1から5までの数字が書かれた5個の玉を、空の箱がないようにA, B, Cの3つの箱に入れるとき、1の番号が書かれた玉をAに入れる方法は何通りあるか。

1. 問題の内容

(1) 1から5までの数字が書かれた5個の玉を、空の箱がないようにA, Bの2つの箱に入れる方法は何通りあるか。

(2) 1から5までの数字が書かれた5個の玉を、空の箱がないようにA, B, Cの3つの箱に入れるとき、1の番号が書かれた玉をAに入れる方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1)

まず、5個の玉を区別すると、各玉についてAまたはBのどちらかの箱に入れることができるので、$2^5 = 32$ 通りの入れ方があります。しかし、この中にはAまたはBの箱が空になる場合が含まれています。Aが空になるのはBに全部入れる1通り、Bが空になるのはAに全部入れる1通りです。したがって、空の箱がないように入れる方法は、$32 - 2 = 30$ 通りです。

(2)

1の玉はAに入れることが決定しています。残りの2, 3, 4, 5の4個の玉をA, B, Cの3つの箱に入れる方法を考えます。

各玉について、A, B, Cのいずれかの箱に入れることができるので、$3^4 = 81$通りの入れ方があります。

この中には空の箱がある場合が含まれています。

- 1つの箱が空の場合：

- Aが空になることはないので、BまたはCのどちらかが空になる場合を考えます。

- Bが空になる場合、$2^4 = 16$ 通り

- Cが空になる場合、$2^4 = 16$ 通り

- ただし、両方が空になる場合 (つまりA以外の箱が空になる場合) はありません。

- 2つの箱が空の場合：

- A以外の箱が空になることはありません。

Bが空、Cが空のパターンがあるので、2つの箱が空になることはないです。したがって、3つの箱が全て埋まるパターン数は以下のように求められます。

$3^4 -$ （Bが空のとき） - （Cが空のとき） +（BもCも空のとき）

空の箱がないようにするためには、全ての場合から1つ以上の箱が空になる場合を引きます。

BまたはCの少なくとも一方が空になるのは、Bが空になる場合とCが空になる場合を足し、BもCも空になる場合（つまり、全ての玉がAに入る場合）を引きます。

BもCも空になる場合は、2, 3, 4, 5の玉が全てAに入る1通りだけです。

よって、空の箱があるのは $16 + 16 - 1 = 31$ 通りです。

したがって、空の箱がないように入れる方法は $81 - 31 = 50$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) 30通り

(2) 50通り