自然数 $m, n$ について、条件 $p, q, r$ が次のように定められている。 $p: 2m+1$ が 3 で割り切れる $q: 3n+1$ が 2 で割り切れる $r: (2m+1)(3n+1)$ が 6 で割り切れる (1) $2m+1$ を 6 で割った余り、 $3n+1$ を 6 で割った余りについて答える。 (2) $p$ と同値な条件、$q$ と同値な条件について答える。 (3) 条件 $p, q, r$ の否定をそれぞれ $\bar{p}, \bar{q}, \bar{r}$ で表す。 $r$ は $p$ であるための何であるか、$r$ は "$p$ かつ $q$" であるための何であるか、$\bar{r}$ は "$\bar{p}$ かつ $\bar{q}$" であるための何であるかについて答える。

1. 問題の内容

自然数 $m, n$ について、条件 $p, q, r$ が次のように定められている。

$p: 2m+1$ が 3 で割り切れる

$q: 3n+1$ が 2 で割り切れる

$r: (2m+1)(3n+1)$ が 6 で割り切れる

(1) $2m+1$ を 6 で割った余り、 $3n+1$ を 6 で割った余りについて答える。

(2) $p$ と同値な条件、$q$ と同値な条件について答える。

(3) 条件 $p, q, r$ の否定をそれぞれ $\bar{p}, \bar{q}, \bar{r}$ で表す。 $r$ は $p$ であるための何であるか、$r$ は "$p$ かつ $q$" であるための何であるか、$\bar{r}$ は "$\bar{p}$ かつ $\bar{q}$" であるための何であるかについて答える。

2. 解き方の手順

(1)

$p: 2m+1$ が 3 で割り切れるとき、$2m+1 = 3k$ （$k$ は自然数）と表せる。

$2m+1$ は奇数なので、$3k$ も奇数となり、$k$ は奇数である。

$k=1, 3, 5, ...$ のとき、$2m+1 = 3, 9, 15, ...$

$2m+1$ を 6 で割った余りは、 $3, 9, 15, ...$ を 6 で割った余りなので、$3, 3, 3, ...$ となり、3 である。

$q: 3n+1$ が 2 で割り切れるとき、$3n+1 = 2l$ （$l$ は自然数）と表せる。

$3n+1$ は偶数なので、$3n$ は奇数となり、$n$ は奇数である。

$n=1, 3, 5, ...$ のとき、$3n+1 = 4, 10, 16, ...$

$3n+1$ を 6 で割った余りは、$4, 10, 16, ...$ を 6 で割った余りなので、$4, 4, 4, ...$ となり、4 である。

(2)

$p: 2m+1$ が 3 で割り切れる $\Leftrightarrow 2m+1 = 3k$ (kは自然数) $\Leftrightarrow 2m = 3k-1$

$2m$ は偶数なので、$3k-1$ も偶数であり、$k$ は奇数である。

$k = 2j+1$ (jは整数) とおくと、$2m = 3(2j+1)-1 = 6j+2$ となり、$m = 3j+1$

よって、$m$ は 3 で割ると 1 余る数である。

$q: 3n+1$ が 2 で割り切れる $\Leftrightarrow 3n+1 = 2l$ (lは自然数) $\Leftrightarrow 3n = 2l-1$

$3n$ は奇数なので、$n$ は奇数である。

(3)

$\bar{p}: 2m+1$ が 3 で割り切れない

$\bar{q}: 3n+1$ が 2 で割り切れない

$\bar{r}: (2m+1)(3n+1)$ が 6 で割り切れない

$r: (2m+1)(3n+1)$ が 6 で割り切れる。

$p: 2m+1$ が 3 で割り切れるとき、 $2m+1 = 3k$ とおくと、$r: 3k(3n+1)$ が 6 で割り切れる。

$r: k(3n+1)$ が 2 で割り切れる。

$3n+1$ は偶数なので、$r$ は常に成り立つ。

よって、$r$ は $p$ であるための必要条件である。

$r: (2m+1)(3n+1)$ が 6 で割り切れる。

"$p$ かつ $q$": $2m+1$ が 3 で割り切れ、かつ $3n+1$ が 2 で割り切れる。

$2m+1 = 3k$, $3n+1 = 2l$ とおくと、$r: 3k(2l)$ が 6 で割り切れる。

$r: 6kl$ が 6 で割り切れるので、$r$ は常に成り立つ。

よって、$r$ は "$p$ かつ $q$" であるための必要十分条件である。

$\bar{r}: (2m+1)(3n+1)$ が 6 で割り切れない。

"$\bar{p}$ かつ $\bar{q}$": $2m+1$ が 3 で割り切れず、かつ $3n+1$ が 2 で割り切れない。

$\bar{r}$ が成り立っても、"$\bar{p}$ かつ $\bar{q}$" が成り立つとは限らない。

また、"$\bar{p}$ かつ $\bar{q}$" が成り立っても、$\bar{r}$ が成り立つとは限らない。

したがって、$\bar{r}$ は "$\bar{p}$ かつ $\bar{q}$" であるための必要条件でも十分条件でもない。

3. 最終的な答え

ア：3

イ：4

ウ：3 で割ると 1 余る数

エ：奇数

オ：必要条件であるが、十分条件ではない

カ：必要十分条件である

キ：必要条件でも十分条件でもない