与えられた2つの式を因数分解する問題です。 (2) $x^4 + 3x^2 + 4$ (3) $x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6$

1. 問題の内容

与えられた2つの式を因数分解する問題です。

(2) $x^4 + 3x^2 + 4$

(3) $x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6$

2. 解き方の手順

(2) $x^4 + 3x^2 + 4$ の因数分解

$x^4 + 3x^2 + 4 = x^4 + 4x^2 + 4 - x^2 = (x^2 + 2)^2 - x^2 = (x^2 + 2 + x)(x^2 + 2 - x) = (x^2 + x + 2)(x^2 - x + 2)$

(3) $x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6$ の因数分解

$P(x) = x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6$とおく。

$P(2) = 16 - 8 - 28 + 2 + 6 = -12 \neq 0$

$P(-2) = 16 + 8 - 28 - 2 + 6 = 0$

$P(3) = 81 - 27 - 63 + 3 + 6 = 0$

$x+2$ および $x-3$ を因数に持つことがわかるので、$(x+2)(x-3) = x^2 - x - 6$で$x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6$を割ると、$x^2 + 1$になる。

よって、$x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6 = (x^2 - x - 6)(x^2 + 1) = (x - 3)(x + 2)(x^2 + 1)$

3. 最終的な答え

(2) $(x^2 + x + 2)(x^2 - x + 2)$

(3) $(x - 3)(x + 2)(x^2 + 1)$