$x = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$ のとき、以下の式の値を求めよ。 (1) $x + \frac{1}{x}$ (2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ (3) $x^2 - \frac{1}{x^2}$

1. 問題の内容

$x = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$ のとき、以下の式の値を求めよ。

(1) $x + \frac{1}{x}$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$

(3) $x^2 - \frac{1}{x^2}$

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{x}$を計算する。

$\frac{1}{x} = \frac{1}{\frac{3-\sqrt{5}}{2}} = \frac{2}{3-\sqrt{5}}$

分母を有理化するために、分母と分子に $3+\sqrt{5}$ を掛ける。

$\frac{2}{3-\sqrt{5}} = \frac{2(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})} = \frac{2(3+\sqrt{5})}{9-5} = \frac{2(3+\sqrt{5})}{4} = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$

(1) $x + \frac{1}{x}$ を計算する。

$x + \frac{1}{x} = \frac{3-\sqrt{5}}{2} + \frac{3+\sqrt{5}}{2} = \frac{3-\sqrt{5}+3+\sqrt{5}}{2} = \frac{6}{2} = 3$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ を計算する。

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$ より、 $x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 3^2 - 2 = 9 - 2 = 7$

(3) $x^2 - \frac{1}{x^2}$ を計算する。

$x^2 - \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})(x - \frac{1}{x})$

$x - \frac{1}{x} = \frac{3-\sqrt{5}}{2} - \frac{3+\sqrt{5}}{2} = \frac{3-\sqrt{5} - (3+\sqrt{5})}{2} = \frac{-2\sqrt{5}}{2} = -\sqrt{5}$

$x^2 - \frac{1}{x^2} = (3)(-\sqrt{5}) = -3\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $x + \frac{1}{x} = 3$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2} = 7$

(3) $x^2 - \frac{1}{x^2} = -3\sqrt{5}$