実数 $x$ が $x^2 + \frac{1}{x^2} = 3$ と $-1 < x < 0$ を満たしているとき、以下の値を求めます。 (1) $(x - \frac{1}{x})^2$ (2) $x - \frac{1}{x}$ (3) $x$ (4) $m < 10x < m + 1$ を満たす整数 $m$ (5) $|10x|$ の小数部分を $y$ とするときの $y^2 + 22y$ の値

1. 問題の内容

実数 $x$ が $x^2 + \frac{1}{x^2} = 3$ と $-1 < x < 0$ を満たしているとき、以下の値を求めます。

(1) $(x - \frac{1}{x})^2$

(2) $x - \frac{1}{x}$

(3) $x$

(4) $m < 10x < m + 1$ を満たす整数 $m$

(5) $|10x|$ の小数部分を $y$ とするときの $y^2 + 22y$ の値

2. 解き方の手順

(1) $(x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = (x^2 + \frac{1}{x^2}) - 2 = 3 - 2 = 1$

(2) $(x - \frac{1}{x})^2 = 1$ より、$x - \frac{1}{x} = \pm 1$。

$-1 < x < 0$ より、$x < 0$ かつ $\frac{1}{x} < -1$ なので、$x - \frac{1}{x} < 0$。

したがって、$x - \frac{1}{x} = -1$

(3) $x - \frac{1}{x} = -1$ より、$x^2 + x - 1 = 0$。

解の公式より、$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$。

$-1 < x < 0$ より、$x = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$

(4) $x = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \approx \frac{-1 - 2.236}{2} \approx \frac{-3.236}{2} \approx -1.618$

$10x \approx -16.18$

$m < 10x < m + 1$ より、$m < -16.18 < m + 1$

$m = -17$

(5) $|10x| = |-16.18| = 16.18$

$|10x|$ の小数部分 $y = 0.18$

$y^2 + 22y = (0.18)^2 + 22(0.18) = 0.0324 + 3.96 = 3.9924$

しかし、|10x|の整数部分をnとすると、$|10x| = n + y$。

$y = |10x| - n$。$n$ は $16$。

$y = |10x| - 16$

$y = |10 \cdot \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}| - 16$

$y = |5(-1 - \sqrt{5})| - 16$

$y = 5(1 + \sqrt{5}) - 16 = 5 + 5\sqrt{5} - 16 = 5\sqrt{5} - 11$

$y^2 + 22y = (5\sqrt{5} - 11)^2 + 22(5\sqrt{5} - 11)$

$= 25(5) - 110\sqrt{5} + 121 + 110\sqrt{5} - 242$

$= 125 + 121 - 242 = 246 - 242 = 4$

3. 最終的な答え

(1) ア: 1

(2) イ: -1

(3) ウ: $\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$

(4) エ: -17

(5) オ: 4