$\frac{x+y}{2z} = \frac{y+z}{2x} = \frac{z+x}{2y}$ のとき、この式の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\frac{x+y}{2z} = \frac{y+z}{2x} = \frac{z+x}{2y}$ のとき、この式の値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた等式を $k$ とおくと、

$\frac{x+y}{2z} = \frac{y+z}{2x} = \frac{z+x}{2y} = k$

したがって、

$x+y = 2kz$

$y+z = 2kx$

$z+x = 2ky$

これらの式をすべて足し合わせると、

$(x+y) + (y+z) + (z+x) = 2kz + 2kx + 2ky$

$2(x+y+z) = 2k(x+y+z)$

$x+y+z = k(x+y+z)$

この式から、次の2つの場合が考えられます。

(i) $x+y+z \neq 0$ の場合

$x+y+z = k(x+y+z)$ より、両辺を $x+y+z$ で割ると、

$k=1$

したがって、

$\frac{x+y}{2z} = 1$

$x+y = 2z$

$x+y+z = 3z$

同様に、

$y+z = 2x$

$x+y+z = 3x$

$z+x = 2y$

$x+y+z = 3y$

よって、$3x=3y=3z$ となり、$x=y=z$ である。

$\frac{x+y}{2z} = \frac{x+x}{2x} = \frac{2x}{2x} = 1$

(ii) $x+y+z = 0$ の場合

$x+y = -z$

$\frac{x+y}{2z} = \frac{-z}{2z} = -\frac{1}{2}$

したがって、$k = -\frac{1}{2}$

いずれの場合も $k$ の値が式の値になるので、

$\frac{x+y}{2z} = \frac{y+z}{2x} = \frac{z+x}{2y}$ の値は $1$ または $-\frac{1}{2}$ です。

ただし、もし $x,y,z$ の少なくとも一つがゼロである場合、分母がゼロになるため、この表現は定義されません。この問題では、特にそれについて制限がないため、 $x,y,z$ はゼロでないと仮定します。

問題文に「この式の値を求めよ」とあるので、求める値は一つに定まるはずです。

しかし、今の段階では、$1$ または $-\frac{1}{2}$ のどちらかです。

$x, y, z$はゼロでないと仮定すると、もし$x+y+z=0$なら、$x, y, z$の少なくとも一つは正で、少なくとも一つは負である必要があります。

もし問題文に特に条件がなければ、通常は最も簡単なケースを想定するので、$x=y=z$と考えるのが妥当です。

3. 最終的な答え

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