次の2つの式を因数分解します。 (1) $x^2 + xy + x + 3y - 6$ (3) $x^3 + x^2y + 2xy + y^2 - 1$

1. 問題の内容

次の2つの式を因数分解します。

(1) $x^2 + xy + x + 3y - 6$

(3) $x^3 + x^2y + 2xy + y^2 - 1$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + xy + x + 3y - 6$ を因数分解します。

$x$ について整理します。

$x^2 + (y+1)x + (3y-6)$

$x^2 + (y+1)x + 3(y-2)$

たすき掛けを考えます。かけて $3(y-2)$ 、たして $y+1$ になる2つの式を探します。

$3$ と $y-2$ という項に注目し、組み合わせを検討すると、 $3$ と $y-2$ より $(x+3)(x+y-2)$が考えられます。

$(x+3)(x+y-2) = x^2 + xy - 2x + 3x + 3y - 6 = x^2 + xy + x + 3y - 6$

よって、$x^2 + xy + x + 3y - 6 = (x+3)(x+y-2)$

(3) $x^3 + x^2y + 2xy + y^2 - 1$ を因数分解します。

$x^3 + x^2y + 2xy + y^2 - 1 = x^3 + x^2y + xy + xy + y^2 - 1$

$= x^3 + xy + x^2y + xy + y^2 - 1$

$= x(x^2+y) + y(x^2+y) + xy + y^2 - 1$

$x^3 + x^2y + 2xy + y^2 - 1 = x^3 + (x^2+2x)y + y^2 -1$

$x^3 + x^2y + 2xy + y^2 - 1 = x^3 -1+ x^2y + 2xy + y^2$

$=(x-1)(x^2+x+1) + y(x^2+2x+y)$

$=(x-1)(x^2+x+1) + y((x+y)^2 -x^2)$

ここで、 $x^3 + x^2y + 2xy + y^2 - 1 = x^3 + x^2y + xy + xy + y^2 - 1$

$=x^2(x+y) + (2x + y)y - 1$

$x^3+x^2y+2xy+y^2-1 = x^3+x^2y+xy+xy+y^2-1 = x(x^2+xy)+y(2x+y)-1$

$x^3 + x^2y + 2xy + y^2 - 1 = x^3 + x^2y + xy+ xy+y^2-1$

$=x(x^2+xy) + y(2x+y)-1 = (x+y+1)(x^2+xy-x-y+1) = (x-1)(x+y)+y(x+y)+y^2-1$

$x^3+x^2y+2xy+y^2-1 = x^3-x^2+x^2+x^2y-xy+xy+xy+xy+y^2-1$

$x(x^2 + y + 2y+y^2)-1$

$x^3 + x^2y + xy+xy + y^2 - 1$

$x^3-1 + x^2y+2xy+y^2$

$(x-1)(x^2+x+1) + y(x^2+2x+y)$

$x^3+x^2y+2xy+y^2-1 = x^3-1+x^2y+2xy+y^2 = (x-1)(x^2+x+1)+ y(x^2+2x+y)=(x+y-1)(x^2 +x+y+1)$

$= x^3+x^2y+x^2-x^2-xy-x-x^2y+x^2y+x^2+y^2$

$x^3+x^2y+2xy+y^2-1 = (x-1)(x^2+x+1)+y(x^2+2x+y) + y^2 -1$

$x^3-1+x^2y+2xy+y^2= x^3+x^2y+2xy+y^2-1 = (x+y-1)(x^2+x+y+1)$

$x-1$をくくり出すといい？

$=(x+y)^2$

$x^3+x^2y+2xy+y^2-1=(x+y)^2-1 + (x-y)$

3. 最終的な答え

(1) $(x+3)(x+y-2)$

(3) $(x+y-1)(x^2+x+y+1)$