与えられた式 $(x-y)^2 (x+y)^2 (x^2+y^2)^2$ を展開して簡単にします。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x-y)^2 (x+y)^2 (x^2+y^2)^2$ を展開して簡単にします。

2. 解き方の手順

まず、$(x-y)^2(x+y)^2$の部分を計算します。

$(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ であることを利用します。

$(x-y)^2(x+y)^2 = [(x-y)(x+y)]^2 = (x^2-y^2)^2$

$(x^2-y^2)^2 = (x^2)^2 - 2(x^2)(y^2) + (y^2)^2 = x^4 - 2x^2y^2 + y^4$

次に、$(x^4 - 2x^2y^2 + y^4)(x^2+y^2)^2$ を計算します。

$(x^2+y^2)^2 = (x^2)^2 + 2(x^2)(y^2) + (y^2)^2 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4$

したがって、

$(x^4 - 2x^2y^2 + y^4)(x^4 + 2x^2y^2 + y^4) = (x^4 + y^4 - 2x^2y^2)(x^4 + y^4 + 2x^2y^2)$

$= (x^4 + y^4)^2 - (2x^2y^2)^2$

$= (x^4)^2 + 2(x^4)(y^4) + (y^4)^2 - 4x^4y^4$

$= x^8 + 2x^4y^4 + y^8 - 4x^4y^4$

$= x^8 - 2x^4y^4 + y^8$

$= (x^4)^2 - 2(x^4)(y^4) + (y^4)^2$

$= (x^4 - y^4)^2$

$= [(x^2)^2 - (y^2)^2]^2$

$= [(x^2-y^2)(x^2+y^2)]^2$

$= [(x-y)(x+y)(x^2+y^2)]^2$

$= [x^4 - y^4]^2 = x^8 - 2x^4y^4 + y^8$

3. 最終的な答え

$x^8 - 2x^4y^4 + y^8$