不等式 $\log_{\frac{1}{4}}(14-x) \le 2 + \log_{\frac{1}{2}}(4x-8)$ を解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $\log_{\frac{1}{4}}(14-x) \le 2 + \log_{\frac{1}{2}}(4x-8)$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、対数の真数条件を確認します。

$14-x > 0$ より $x < 14$。

$4x-8 > 0$ より $x > 2$。

したがって、$2 < x < 14$ である必要があります。

次に、底を $\frac{1}{2}$ に統一します。

$\log_{\frac{1}{4}}(14-x) = \frac{\log_{\frac{1}{2}}(14-x)}{\log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{4})} = \frac{\log_{\frac{1}{2}}(14-x)}{2} = \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{2}}(14-x)$

与えられた不等式は次のようになります。

$\frac{1}{2} \log_{\frac{1}{2}}(14-x) \le 2 + \log_{\frac{1}{2}}(4x-8)$

両辺を2倍します。

$\log_{\frac{1}{2}}(14-x) \le 4 + 2\log_{\frac{1}{2}}(4x-8)$

$\log_{\frac{1}{2}}(14-x) \le \log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2^4}) + \log_{\frac{1}{2}}((4x-8)^2)$

$\log_{\frac{1}{2}}(14-x) \le \log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{16}(4x-8)^2)$

底が$\frac{1}{2}$で1より小さいので、対数を外すと不等号の向きが変わります。

$14-x \ge \frac{1}{16}(4x-8)^2$

$14-x \ge \frac{1}{16} \cdot 16(x-2)^2$

$14-x \ge (x-2)^2$

$14-x \ge x^2 - 4x + 4$

$0 \ge x^2 - 3x - 10$

$x^2 - 3x - 10 \le 0$

$(x-5)(x+2) \le 0$

$-2 \le x \le 5$

真数条件 $2 < x < 14$ と $-2 \le x \le 5$ の共通範囲は $2 < x \le 5$ です。

3. 最終的な答え

$2 < x \le 5$