与えられた2次関数 $y = -x^2 + 2x + 2$ について、定義域 $-1 \le x \le 2$ における最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $y = -x^2 + 2x + 2$ について、定義域 $-1 \le x \le 2$ における最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = -(x^2 - 2x) + 2$

$y = -(x^2 - 2x + 1 - 1) + 2$

$y = -(x - 1)^2 + 1 + 2$

$y = -(x - 1)^2 + 3$

この式から、この2次関数のグラフは、頂点が $(1, 3)$ で上に凸の放物線であることがわかる。

次に、定義域 $-1 \le x \le 2$ における関数の値を調べる。

頂点の $x$ 座標である $x = 1$ は定義域に含まれている。

定義域の端点での関数の値を計算する。

$x = -1$ のとき、$y = -(-1)^2 + 2(-1) + 2 = -1 - 2 + 2 = -1$

$x = 2$ のとき、$y = -(2)^2 + 2(2) + 2 = -4 + 4 + 2 = 2$

グラフは上に凸で、頂点が $(1, 3)$ であるため、定義域内で $x = 1$ のときに最大値をとる。定義域の端点 $x = -1$ で最小値をとる。

3. 最終的な答え

最大値: $3$ ($x = 1$ のとき)

最小値: $-1$ ($x = -1$ のとき)