与えられた関数 $y = x^2 - 2x - 1$ において、定義域が $-1 \leq x \leq 1$ であるときの $y$ の取りうる値の範囲（値域）を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = x^2 - 2x - 1$ において、定義域が $-1 \leq x \leq 1$ であるときの $y$ の取りうる値の範囲（値域）を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2x - 1 = (x - 1)^2 - 2$

この式から、頂点の座標が $(1, -2)$ であることがわかります。

次に、定義域 $-1 \leq x \leq 1$ の範囲における $y$ の最大値と最小値を求めます。

頂点の $x$ 座標 $x = 1$ は定義域に含まれているため、$x = 1$ のとき最小値 $y = -2$ を取ります。

$x = -1$ のとき、

$y = (-1)^2 - 2(-1) - 1 = 1 + 2 - 1 = 2$

したがって、$x = -1$ のとき、$y = 2$ となります。

$x = 1$のとき、$y = (1-1)^2 - 2 = -2$

定義域 $-1 \leq x \leq 1$ における $y$ の最大値は $2$ 、最小値は $-2$ となります。

したがって、値域は $-2 \leq y \leq 2$ となります。

3. 最終的な答え

$-2 \leq y \leq 2$