不等式 $|x-3| \le \frac{1}{2}(x+a)$ を満たす整数 $x$ がちょうど3個となるような $a$ の範囲を求める。

1. 問題の内容

不等式 $|x-3| \le \frac{1}{2}(x+a)$ を満たす整数 $x$ がちょうど3個となるような $a$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を整理する。

$|x-3| \le \frac{1}{2}(x+a)$

絶対値を外すために、不等式を2つに分ける。

$-(x+a) \le 2(x-3) \le (x+a)$

これを更に2つの不等式に分ける。

1. $2(x-3) \le x+a$

2. $-(x+a) \le 2(x-3)$

1. $2x-6 \le x+a$

$x \le a+6$

2. $-x-a \le 2x-6$

$6-a \le 3x$

$\frac{6-a}{3} \le x$

したがって、不等式は $\frac{6-a}{3} \le x \le a+6$ となる。

この不等式を満たす整数 $x$ がちょうど3個となる条件を考える。

整数 $x$ がちょうど3個となるので、

$a+6 - \frac{6-a}{3} \ge 2$ であり、$a+6 - \frac{6-a}{3} < 4$ である必要がある。

まず、$a+6 - \frac{6-a}{3} \ge 2$ を解く。

$3(a+6) - (6-a) \ge 6$

$3a+18 - 6 + a \ge 6$

$4a+12 \ge 6$

$4a \ge -6$

$a \ge -\frac{3}{2}$

次に、$a+6 - \frac{6-a}{3} < 4$ を解く。

$3(a+6) - (6-a) < 12$

$3a+18 - 6 + a < 12$

$4a+12 < 12$

$4a < 0$

$a < 0$

$\frac{6-a}{3}$ と $a+6$ の間の整数が3つとなる条件を詳細に検討する。

整数 $n$ を用いて、$n \le x \le n+2$ と表される必要がある。

つまり、$x$ が $n, n+1, n+2$ のみであるとき、条件を満たす。

$\frac{6-a}{3} \le n$ かつ $n+2 \le a+6$ であり、

$\frac{6-a}{3} > n-1$ かつ $n+3 > a+6$ である必要がある。

$n-1 < \frac{6-a}{3} \le n$

$3n-3 < 6-a \le 3n$

$-3n \le a-6 < -3n+3$

$6-3n \le a < 9-3n$

$n+2 \le a+6 < n+3$

$n-4 \le a < n-3$

$6-3n \le a < 9-3n$ と $n-4 \le a < n-3$ が同時に成立する必要がある。

$6-3n = n-4$ のとき、$4n=10$, $n=5/2$.

$9-3n = n-3$ のとき、$4n=12$, $n=3$.

$n=2$ のとき、$0 \le a < 3$ かつ $-2 \le a < -1$. 解なし。

$n=3$ のとき、$-3 \le a < 0$ かつ $-1 \le a < 0$. $-1 \le a < 0$

$n=4$ のとき、$-6 \le a < -3$ かつ $0 \le a < 1$. 解なし。

したがって、$-1 \le a < 0$.

また、$a$ が整数となる条件は $x$ の個数条件を連続に変化させない。

$a = -0.5$ の時, $\frac{6.5}{3} \le x \le 5.5$, $2.16 \le x \le 5.5$. 整数解は $3, 4, 5$ で3個。

$a = -1.1$ の時, $\frac{7.1}{3} \le x \le 4.9$, $2.36 \le x \le 4.9$. 整数解は $3, 4$ で2個。

$a = -0.9$ の時, $\frac{6.9}{3} \le x \le 5.1$, $2.3 \le x \le 5.1$. 整数解は $3, 4, 5$ で3個。

$a = 0$ の時, $2 \le x \le 6$. 整数解は $2, 3, 4, 5, 6$ で5個。

$a \ge -\frac{3}{2}$ と $a < 0$ の下で吟味すると、整数解がちょうど3個となるためには

$a$ の値が$-1 \le a < 0$ でなければならない。

3. 最終的な答え

$-1 \le a < 0$