第15項が23、第45項が113である等差数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ。

## 問題6

1. 問題の内容

第15項が23、第45項が113である等差数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ。

2. 解き方の手順

等差数列の一般項を $a_n = a + (n-1)d$ とおく。ここで、$a$ は初項、$d$ は公差、$n$ は項番号である。

問題文より、以下の2つの式が成り立つ。

$a_{15} = a + (15-1)d = a + 14d = 23$

$a_{45} = a + (45-1)d = a + 44d = 113$

これらの連立方程式を解いて、$a$ と $d$ を求める。

2番目の式から1番目の式を引くと、

$(a + 44d) - (a + 14d) = 113 - 23$

$30d = 90$

$d = 3$

これを1番目の式に代入すると、

$a + 14(3) = 23$

$a + 42 = 23$

$a = 23 - 42 = -19$

したがって、$a = -19$、$d = 3$ である。

よって、等差数列の一般項は $a_n = a + (n-1)d = -19 + (n-1)3 = -19 + 3n - 3 = 3n - 22$ となる。

3. 最終的な答え

$a_n = 3n - 22$

## 問題7

1. 問題の内容

初項が44、公差が-6である等差数列$\{a_n\}$がある。-250はこの数列の第何項であるか。

2. 解き方の手順

等差数列の一般項を $a_n = a + (n-1)d$ とおく。ここで、$a = 44$、$d = -6$ である。

$a_n = 44 + (n-1)(-6)$

$a_n = 44 - 6n + 6$

$a_n = 50 - 6n$

$a_n = -250$ となる $n$ を求める。

$50 - 6n = -250$

$-6n = -250 - 50$

$-6n = -300$

$n = 50$

3. 最終的な答え

第50項

## 問題8

1. 問題の内容

初項が5、公差が-4である等差数列の初項から第n項までの和$S_n$を求めよ。また、初項から第10項までの和$S_{10}$を求めよ。

2. 解き方の手順

等差数列の和の公式は $S_n = \frac{n}{2} \{2a + (n-1)d\}$ である。ここで、$a = 5$、$d = -4$ である。

$S_n = \frac{n}{2} \{2(5) + (n-1)(-4)\}$

$S_n = \frac{n}{2} \{10 - 4n + 4\}$

$S_n = \frac{n}{2} \{14 - 4n\}$

$S_n = n(7 - 2n)$

$S_n = 7n - 2n^2$

$S_{10}$を求める。

$S_{10} = 7(10) - 2(10)^2$

$S_{10} = 70 - 200$

$S_{10} = -130$

3. 最終的な答え

$S_n = 7n - 2n^2$

$S_{10} = -130$

## 問題9

1. 問題の内容

初項が100、公差が-7である等差数列$\{a_n\}$が初めて負の数になるのは第何項か。

2. 解き方の手順

等差数列の一般項を $a_n = a + (n-1)d$ とおく。ここで、$a = 100$、$d = -7$ である。

$a_n = 100 + (n-1)(-7)$

$a_n = 100 - 7n + 7$

$a_n = 107 - 7n$

$a_n < 0$ となる $n$ を求める。

$107 - 7n < 0$

$107 < 7n$

$n > \frac{107}{7}$

$n > 15.2857...$

$n$ は整数なので、$n = 16$ が初めて負の数になる項番号である。

3. 最終的な答え

第16項