例7の集合$U$と$A$, $B$について、与えられた集合を求めよ。具体的には、以下の集合が与えられている。 (1) $B^c = \{1, 2, 4, 5\}$ (2) $A^c \cap B = \{1, 2, 3, 6\}$ (3) $A^c \cap B^c = \{3\}$ (4) $A^c \cup B^c = \{1, 2, 3, 6\}$ (5) $A^c \cap B = \{3, 4, 5, 6\}$ (6) $A \cap B^c = \{3, 6\}$ これらの情報から集合$A$, $B$, $U$を求める問題であると考えられる。しかし、問題文に「次の集合を求めよ」とあるにもかかわらず、既に集合が与えられているため、問題が正しくない可能性がある。ここでは与えられた情報から集合$A, B, U$を推測する。

1. 問題の内容

例7の集合$U$と$A$, $B$について、与えられた集合を求めよ。具体的には、以下の集合が与えられている。

(1) $B^c = \{1, 2, 4, 5\}$

(2) $A^c \cap B = \{1, 2, 3, 6\}$

(3) $A^c \cap B^c = \{3\}$

(4) $A^c \cup B^c = \{1, 2, 3, 6\}$

(5) $A^c \cap B = \{3, 4, 5, 6\}$

(6) $A \cap B^c = \{3, 6\}$

これらの情報から集合$A$, $B$, $U$を求める問題であると考えられる。しかし、問題文に「次の集合を求めよ」とあるにもかかわらず、既に集合が与えられているため、問題が正しくない可能性がある。ここでは与えられた情報から集合$A, B, U$を推測する。

2. 解き方の手順

(1) $B^c = \{1, 2, 4, 5\}$ より、$B = U - \{1, 2, 4, 5\}$。

(2) $A^c \cap B = \{1, 2, 3, 6\}$

(3) $A^c \cap B^c = \{3\}$ より、$(A \cup B)^c = \{3\}$。したがって、$A \cup B = U - \{3\}$。

(4) $A^c \cup B^c = \{1, 2, 3, 6\}$ より、$(A \cap B)^c = \{1, 2, 3, 6\}$。したがって、$A \cap B = U - \{1, 2, 3, 6\}$。

(5) $A^c \cap B = \{3, 4, 5, 6\}$

(6) $A \cap B^c = \{3, 6\}$

集合$U$に含まれる要素は少なくとも$\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$である必要がある。

$A \cup B = U - \{3\}$, $A \cap B = U - \{1, 2, 3, 6\}$より、$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$と仮定する。

すると、$A \cup B = \{1, 2, 4, 5, 6\}$, $A \cap B = \{4, 5\}$.

また、$B^c = \{1, 2, 4, 5\}$より、$B = \{3, 6\}$。

$A \cup B = \{1, 2, 4, 5, 6\}$と$B = \{3, 6\}$より、$A = \{1, 2, 4, 5\}$となるはず。

しかし、この時、$A \cap B = \{1, 2, 4, 5\} \cap \{3, 6\} = \emptyset$となり、$A \cap B = \{4, 5\}$と矛盾する。

$B = \{3,6\}$

$A^c \cap B = \{1, 2, 3, 6\} \implies A^c = \{1,2\}$と仮定すると，$A = \{3,4,5,6\}$となり，$A \cap B = \{3,6\}$となる。

$A^c \cap B^c = \{3\} \implies B^c = \{3\}$. これは$B=\{1,2,4,5\}$と矛盾。

$A^c \cap B = \{3,4,5,6\} \implies A^c = \{4,5,1,2\}$と仮定すると，$A=\{3,6\}$となり，$A \cap B = \{3,6\}$となる。

3. 最終的な答え

この問題は、与えられた情報が矛盾しているため、一意の解を求めることができない。ただし、与えられた情報から集合$A$, $B$, $U$を推測することはできる。

例：

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

$B = \{3, 6\}$

$A = \{4,5,6\}$