与えられたブール代数の式を簡略化する問題です。式は次の通りです。 $\overline{A(A \cdot B)} + B(A \cdot B)$

1. 問題の内容

与えられたブール代数の式を簡略化する問題です。式は次の通りです。

$\overline{A(A \cdot B)} + B(A \cdot B)$

2. 解き方の手順

まず、ド・モルガンの法則を適用して、式の最初の項を簡略化します。ド・モルガンの法則は、$\overline{XY} = \overline{X} + \overline{Y}$ です。今回の式では、$\overline{A(A \cdot B)} = \overline{A} + \overline{A \cdot B}$ となります。

さらにド・モルガンの法則を適用すると、$\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}$ となります。

したがって、$\overline{A(A \cdot B)} = \overline{A} + \overline{A} + \overline{B} = \overline{A} + \overline{B}$ となります。（なぜなら、$\overline{A}+\overline{A}=\overline{A}$だからです。）

次に、分配法則を適用して、式の2番目の項を簡略化します。分配法則は、$X(Y+Z)=XY+XZ$です。しかし、今回は積の形です。

元の式は、

$\overline{A(A \cdot B)} + B(A \cdot B)$

$\overline{A} + \overline{B} + B(A \cdot B)$

結合法則より、

$\overline{A} + \overline{B} + (B \cdot A) \cdot B$

可換律より、$B \cdot A = A \cdot B$なので、

$\overline{A} + \overline{B} + (A \cdot B) \cdot B$

$B \cdot B = B$なので、

$\overline{A} + \overline{B} + A \cdot B$

吸収則により、$\overline{B}+AB = \overline{A}+ \overline{B} + AB = \overline{A}+ \overline{B}+B = \overline{A}+1 = 1$

または別の方法として、$AB + \overline{B} = (A+\overline{B})(\overline{B}+B)=(A+\overline{B}) = A+\overline{B}$

よって、$\overline{A} + AB + \overline{B}$

$\overline{A} + (A+ \overline{B}) \overline{B} +AB$

= $\overline{A} + A \overline{B} + \overline{B} +AB = \overline{A} + (A + \overline{A})\overline{B} = \overline{A} + \overline{B}$

別の変形：

$\overline{A} + \overline{B} + AB$

$= \overline{A} + \overline{B} + AB + A\overline{A} + \overline{B}B$ （$\overline{A}A =0$と $\overline{B}B =0$を追加）

$= \overline{A} + \overline{B}(1+A)$

3. 最終的な答え

$\overline{A} + \overline{B} + AB$