9個の異なる玉を、指定された個数でいくつかの組に分ける場合の数を求める問題です。具体的には以下の4つの場合について考えます。 (1) 4個、3個、2個の3つの組に分ける。 (2) A, B, C の3つの組に、3個ずつ分ける。 (3) 3個ずつの3つの組に分ける。 (4) 2個、2個、2個、3個の4つの組に分ける。

1. 問題の内容

9個の異なる玉を、指定された個数でいくつかの組に分ける場合の数を求める問題です。具体的には以下の4つの場合について考えます。

(1) 4個、3個、2個の3つの組に分ける。

(2) A, B, C の3つの組に、3個ずつ分ける。

(3) 3個ずつの3つの組に分ける。

(4) 2個、2個、2個、3個の4つの組に分ける。

2. 解き方の手順

(1) 4個、3個、2個の3つの組に分ける場合

まず、9個から4個を選び、残りの5個から3個を選び、最後に残った2個を選ぶという考え方で計算します。組み合わせの公式 ${}_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を用います。

${}_9C_4 \times {}_5C_3 \times {}_2C_2 = \frac{9!}{4!5!} \times \frac{5!}{3!2!} \times \frac{2!}{2!0!} = \frac{9!}{4!3!2!}$

計算すると、$\frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \times \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \times 1 = 126 \times 10 = 1260$ となります。

(2) A, B, C の3つの組に、3個ずつ分ける場合

まず、9個から3個を選びAの組とし、残りの6個から3個を選びBの組とし、最後に残った3個をCの組とします。

${}_9C_3 \times {}_6C_3 \times {}_3C_3 = \frac{9!}{3!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times \frac{3!}{3!0!} = \frac{9!}{3!3!3!}$

計算すると、$\frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \times 1 = 84 \times 20 = 1680$ となります。

(3) 3個ずつの3つの組に分ける場合

(2)と同じように考えると ${}_9C_3 \times {}_6C_3 \times {}_3C_3 = 1680$ となりますが、A, B, Cの区別がないため、3! で割る必要があります。

$\frac{{}_9C_3 \times {}_6C_3 \times {}_3C_3}{3!} = \frac{1680}{3 \times 2 \times 1} = \frac{1680}{6} = 280$

(4) 2個、2個、2個、3個の4つの組に分ける場合

まず、9個から3個を選びます (${}_9C_3$)。次に、残りの6個から2個を選び (${}_6C_2$)、残りの4個から2個を選び (${}_4C_2$)、最後に残りの2個から2個を選びます (${}_2C_2$)。2個の組は区別がないため、3! で割ります。

$\frac{{}_9C_3 \times {}_6C_2 \times {}_4C_2 \times {}_2C_2}{3!} = \frac{\frac{9!}{3!6!} \times \frac{6!}{2!4!} \times \frac{4!}{2!2!} \times \frac{2!}{2!0!}}{3!} = \frac{\frac{9!}{3!2!2!2!3!}}{3!} = \frac{9!}{3!(2!)^3 \times 3!}$

計算すると、$\frac{84 \times 15 \times 6 \times 1}{6} = 84 \times 15 = 1260$ となります。

ただし、$\frac{9!}{3! (2!)^3 3!} = \frac{362880}{6 \times 8 \times 6} = \frac{362880}{288} = 1260$

3. 最終的な答え

(1) 1260通り

(2) 1680通り

(3) 280通り

(4) 1260通り