3点 A(0, 0, 0), B(4, 1, 0), C(1, 3, 0) を頂点とする三角形の面積を、外積を用いて求める問題です。

1. 問題の内容

3点 A(0, 0, 0), B(4, 1, 0), C(1, 3, 0) を頂点とする三角形の面積を、外積を用いて求める問題です。

2. 解き方の手順

三角形の面積は、ベクトル $\vec{AB}$ とベクトル $\vec{AC}$ の外積の大きさの半分で求められます。

まず、ベクトル $\vec{AB}$ とベクトル $\vec{AC}$ を計算します。

$\vec{AB} = B - A = (4, 1, 0) - (0, 0, 0) = (4, 1, 0)$

$\vec{AC} = C - A = (1, 3, 0) - (0, 0, 0) = (1, 3, 0)$

次に、$\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ の外積 $\vec{AB} \times \vec{AC}$ を計算します。

$$$$

\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(0) - (0)(3) \\ (0)(1) - (4)(0) \\ (4)(3) - (1)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 12 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 11 \end{pmatrix}

$$$$

したがって、$\vec{AB} \times \vec{AC} = (0, 0, 11)$ です。

外積の大きさ $|\vec{AB} \times \vec{AC}|$ を計算します。

$$$$

|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 11^2} = \sqrt{121} = 11

$$$$

三角形の面積 $S$ は、外積の大きさの半分なので、

$$$$

S = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} (11) = \frac{11}{2}

$$$$

3. 最終的な答え

三角形の面積は $\frac{11}{2}$ です。