複素数 $z$ に対し、複素数平面上の3点 A(1), B($z$), C($z^2$) が鋭角三角形をなすような $z$ の範囲を求め、図示する問題です。

1. 問題の内容

複素数 $z$ に対し、複素数平面上の3点 A(1), B($z$), C($z^2$) が鋭角三角形をなすような $z$ の範囲を求め、図示する問題です。

2. 解き方の手順

三角形 ABC が鋭角三角形であるためには、角 A, 角 B, 角 C がすべて鋭角である必要があります。これは、以下の3つの不等式が成り立つことと同値です。

* $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} > 0$

* $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} > 0$

* $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} > 0$

ここで、$\overrightarrow{AB} = z-1$, $\overrightarrow{AC} = z^2-1$, $\overrightarrow{BA} = 1-z$, $\overrightarrow{BC} = z^2-z$, $\overrightarrow{CA} = 1-z^2$, $\overrightarrow{CB} = z-z^2$ です。

まず、$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} > 0$ は、$(z-1)(\overline{z} - 1) + (z^2-1)(\overline{z^2} - 1) > 0$ となります。

$\mathrm{Re}((z-1)\overline{(z^2-1)}) > 0$となり、$\mathrm{Re}((z-1)(\overline{z}^2-1))>0$となります。

同様に、$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} > 0$ は、$\mathrm{Re}((1-z)(\overline{z^2}-\overline{z})) > 0$となります。これは、$\mathrm{Re}((1-z)\overline{z}(z-1)) > 0$、つまり$\mathrm{Re}((z-1)^2\overline{z}) < 0$となります。

最後に、$\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} > 0$ は、$\mathrm{Re}((1-z^2)(\overline{z}-\overline{z^2})) > 0$となります。これは、$\mathrm{Re}((1-z^2)\overline{z}(1-z)) > 0$、つまり$\mathrm{Re}((1-z^2)\overline{z}(1-z)) > 0$となります。

$z = x+iy$とおき、それぞれの不等式を計算し、複素数平面上で範囲を図示します。

ただし、三角形をなすためには、$z \neq 1$ かつ $z^2 \neq 1$ かつ $z^2 \neq z$ である必要があります。これは $z \neq 1$ かつ $z \neq -1$ かつ $z \neq 0$ であることを意味します。

最初の条件 $\mathrm{Re}((z-1)(\overline{z}^2-1))>0$ は、$\mathrm{Re}((x+iy-1)((x-iy)^2-1))>0$から

$\mathrm{Re}((x+iy-1)(x^2-y^2-1-2ixy))>0$となり、

$(x-1)(x^2-y^2-1)+2xy^2>0$となります。

2番目の条件 $\mathrm{Re}((z-1)^2\overline{z}) < 0$ は、$\mathrm{Re}((x+iy-1)^2(x-iy))<0$から

$\mathrm{Re}((x-1+iy)^2(x-iy)) < 0$となり、

$\mathrm{Re}((x-1)^2-y^2+2iy(x-1))(x-iy)<0$となり、

$((x-1)^2-y^2)x+2y^2(x-1)<0$、つまり

$(x-1)(x^2-2x+1-y^2)+2y^2(x-1)<0$、

$(x-1)(x^2-2x+1+y^2)<0$、

$(x-1)((x-1)^2+y^2)<0$、

$(x-1)|z-1|^2 < 0$となります。よって、$x < 1$です。

3番目の条件 $\mathrm{Re}((1-z^2)\overline{z}(1-z)) > 0$ は、$\mathrm{Re}((1-(x+iy)^2)(x-iy)(1-(x+iy))) > 0$となり、$z=x+iy$として計算し、複素数平面上で範囲を図示します。

3. 最終的な答え

上記の条件を満たす $z$ の範囲を複素数平面上に図示することで、最終的な答えが得られます。

* $x < 1$

* $z \neq 1$ かつ $z \neq -1$ かつ $z \neq 0$

* $(x-1)(x^2-y^2-1)+2xy^2>0$

* $\mathrm{Re}((1-z^2)\overline{z}(1-z)) > 0$

上記の範囲を図示してください。