3点 $A(1, 3)$, $B(-2, -4)$, $C(4, -1)$ が与えられています。 (1) 線分 $BC$ の長さを求めます。 (2) 直線 $BC$ の方程式を求めます。 (3) 点 $A$ と直線 $BC$ の距離 $h$ を求めます。 (4) 三角形 $ABC$ の面積 $S$ を求めます。

以下、問題の解答です。

1. 問題の内容

3点 $A(1, 3)$, $B(-2, -4)$, $C(4, -1)$ が与えられています。

(1) 線分 $BC$ の長さを求めます。

(2) 直線 $BC$ の方程式を求めます。

(3) 点 $A$ と直線 $BC$ の距離 $h$ を求めます。

(4) 三角形 $ABC$ の面積 $S$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 線分 $BC$ の長さは、2点間の距離の公式を用いて計算します。

$BC = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (-1 - (-4))^2} = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$

よって、$BC = 3 \sqrt{5}$

(2) 直線 $BC$ の傾き $m$ は、

$m = \frac{-1 - (-4)}{4 - (-2)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

点 $(4, -1)$ を通るので、直線 $BC$ の方程式は、

$y - (-1) = \frac{1}{2}(x - 4)$

$y + 1 = \frac{1}{2}x - 2$

$y = \frac{1}{2}x - 3$

両辺を2倍して整理すると、$x - 2y - 6 = 0$

よって、直線 $BC$ の方程式は、$x - 2y - 6 = 0$

(3) 点 $A(1, 3)$ と直線 $x - 2y - 6 = 0$ の距離 $h$ は、点と直線の距離の公式を用いて計算します。

$h = \frac{|1 - 2(3) - 6|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{|1 - 6 - 6|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{|-11|}{\sqrt{5}} = \frac{11}{\sqrt{5}} = \frac{11\sqrt{5}}{5}$

よって、$h = \frac{11\sqrt{5}}{5}$

(4) 三角形 $ABC$ の面積 $S$ は、$S = \frac{1}{2} \times BC \times h$ で計算します。

$S = \frac{1}{2} \times 3\sqrt{5} \times \frac{11\sqrt{5}}{5} = \frac{1}{2} \times \frac{33 \times 5}{5} = \frac{1}{2} \times 33 = \frac{33}{2}$

よって、$S = \frac{33}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $BC = 3\sqrt{5}$

(2) $x - 2y - 6 = 0$

(3) $h = \frac{11\sqrt{5}}{5}$

(4) $S = \frac{33}{2}$