3点A(1,3), B(-2,-4), C(4,-1)が与えられている。 (1) 線分BCの長さを求める。 (2) 直線BCの方程式を求める。 (3) 点Aと直線BCの距離hを求める。 (4) 三角形ABCの面積Sを求める。

1. 問題の内容

3点A(1,3), B(-2,-4), C(4,-1)が与えられている。

(1) 線分BCの長さを求める。

(2) 直線BCの方程式を求める。

(3) 点Aと直線BCの距離hを求める。

(4) 三角形ABCの面積Sを求める。

2. 解き方の手順

(1) 線分BCの長さを求める。

BCの長さは、BとCの座標を使って三平方の定理から計算できる。

$BC = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (-1 - (-4))^2} = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$

(2) 直線BCの方程式を求める。

傾きは、$\frac{-1 - (-4)}{4 - (-2)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

点(4, -1)を通るから、

$y - (-1) = \frac{1}{2}(x - 4)$

$y + 1 = \frac{1}{2}x - 2$

$2y + 2 = x - 4$

$x - 2y - 6 = 0$

傾きは $1/2$ なので画像から傾きは 3/4 ではない

直線BCの方程式は $x - 2y - 6 = 0$

(3) 点Aと直線BCの距離hを求める。

点(x1, y1)と直線ax + by + c = 0の距離は、

$h = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

A(1, 3)と直線 $x - 2y - 6 = 0$ の距離は、

$h = \frac{|1 - 2(3) - 6|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{|1 - 6 - 6|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{|-11|}{\sqrt{5}} = \frac{11}{\sqrt{5}} = \frac{11\sqrt{5}}{5}$

(4) 三角形ABCの面積Sを求める。

$S = \frac{1}{2} \times BC \times h = \frac{1}{2} \times 3\sqrt{5} \times \frac{11}{\sqrt{5}} = \frac{33}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 線分BCの長さ: $3\sqrt{5}$

(2) 直線BCの方程式: $x - 2y - 6 = 0$

(3) 点Aと直線BCの距離h: $\frac{11\sqrt{5}}{5}$

(4) 三角形ABCの面積S: $\frac{33}{2}$

画像の空欄を埋める場合：

(1) $3\sqrt{5}$ なので、$1=3$, $2=5$

(2) 傾き: $1/2$ なので、$3=1$, $4=2$, 方程式は、$x - 2y - 6 = 0$ なので、$5=2$, $6=6$

(3) $h = \frac{11}{\sqrt{5}}$なので、$7=1$, $8=1$, $9=5$

(4) $S = \frac{1}{2} \times BC \times h = \frac{1}{2} \times 3\sqrt{5} \times \frac{11}{\sqrt{5}} = \frac{33}{2}$なので、$10=3$, $11=3$, $12=2$