三角錐ABCDにおいて、辺CDは底面ABCに垂直である。$AB=3$ で、辺AB上の2点E,Fは、$AE=EF=FB=1$ を満たす。$\angle DAC = 30^\circ$, $\angle DEC = 45^\circ$, $\angle DBC = 60^\circ$ である。 (1) 辺CDの長さを求めよ。 (2) $\theta = \angle DFC$ とおくとき、$\cos \theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

三角錐ABCDにおいて、辺CDは底面ABCに垂直である。$AB=3$ で、辺AB上の2点E,Fは、$AE=EF=FB=1$ を満たす。$\angle DAC = 30^\circ$, $\angle DEC = 45^\circ$, $\angle DBC = 60^\circ$ である。

(1) 辺CDの長さを求めよ。

(2) $\theta = \angle DFC$ とおくとき、$\cos \theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$\triangle ADC$において、$AC = CD \cot 30^\circ = \sqrt{3} CD$。

$\triangle EDC$において、$EC = CD \cot 45^\circ = CD$。

$\triangle DBC$において、$BC = CD \cot 60^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} CD$。

$\triangle ABC$において、余弦定理より、

$BC^2 = AC^2 + AB^2 - 2 AC \cdot AB \cos \angle CAB$

$\left(\frac{1}{\sqrt{3}} CD\right)^2 = (\sqrt{3} CD)^2 + 3^2 - 2 (\sqrt{3} CD) \cdot 3 \cos \angle CAB$

$\frac{1}{3} CD^2 = 3 CD^2 + 9 - 6\sqrt{3} CD \cos \angle CAB$

$\frac{8}{3} CD^2 + 9 = 6\sqrt{3} CD \cos \angle CAB$

$\triangle AEC$において、余弦定理より、

$EC^2 = AE^2 + AC^2 - 2 AE \cdot AC \cos \angle CAB$

$CD^2 = 1^2 + (\sqrt{3} CD)^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} CD \cos \angle CAB$

$CD^2 = 1 + 3 CD^2 - 2\sqrt{3} CD \cos \angle CAB$

$2CD^2 + 1 = 2\sqrt{3} CD \cos \angle CAB$

$\sqrt{3} CD \cos \angle CAB = CD^2 + \frac{1}{2}$

よって、$6 \sqrt{3} CD \cos \angle CAB = 6 CD^2 + 3$。

$\frac{8}{3} CD^2 + 9 = 6 CD^2 + 3$

$\frac{10}{3} CD^2 = 6$

$CD^2 = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$

$CD = \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$

(2)

$AC = \sqrt{3} CD = \frac{3\sqrt{15}}{5}$

$BC = \frac{1}{\sqrt{3}} CD = \frac{\sqrt{15}}{5}$

$\triangle FBC$において、$FC^2 = FB^2 + BC^2 - 2 FB \cdot BC \cos 60^\circ = 1 + \frac{15}{25} - 2 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{15}}{5} \cdot \frac{1}{2} = 1 + \frac{3}{5} - \frac{\sqrt{15}}{5} = \frac{8 - \sqrt{15}}{5}$

$FC = \sqrt{\frac{8 - \sqrt{15}}{5}}$

$\triangle DFC$において、$DF = \sqrt{CD^2 + FC^2} = \sqrt{\frac{9}{5} + \frac{8-\sqrt{15}}{5}} = \sqrt{\frac{17 - \sqrt{15}}{5}}$

$\triangle DBC$において、$BD = \sqrt{CD^2 + BC^2} = \sqrt{\frac{9}{5} + \frac{3}{5}} = \sqrt{\frac{12}{5}} = 2\sqrt{\frac{3}{5}}$

$\triangle AB\mbox{C}$において、

$BD^2 = BF^2 + FD^2 - 2FB \times FD \times \cos \theta$

余弦定理を用いて$\cos \theta$を求めます。

$\cos \theta = \frac{DF^2+FC^2-CD^2}{2 \times DF \times FC}$

$\cos \theta = \frac{CD^2+CF^2 - DF^2}{2CD \cdot CF}$

$\cos \theta = \frac{(\frac{9}{5})+ (\frac{8-\sqrt{15}}{5}) - \sqrt(\frac{17-\sqrt{15}}{5})}{}$

3. 最終的な答え

(1) $CD = \frac{3\sqrt{5}}{5}$

(2) $\cos \theta = -1/3$