直方体 ABCD-EFGH において、以下の問に答える。 (1) 直線 AB と直線 CG のなす角を求める。 (2) 直線 BC と直線 EG のなす角を求める。 (3) 平面 ABG と平面 EFG のなす角を求める。 (4) 平面 BDH と平面 CEG のなす角を求める。

1. 問題の内容

直方体 ABCD-EFGH において、以下の問に答える。

(1) 直線 AB と直線 CG のなす角を求める。

(2) 直線 BC と直線 EG のなす角を求める。

(3) 平面 ABG と平面 EFG のなす角を求める。

(4) 平面 BDH と平面 CEG のなす角を求める。

2. 解き方の手順

(1) 直線 AB と直線 CG のなす角

AB は底面にあり、CG は直方体の高さ方向に伸びているため、AB と CG は垂直である。したがって、なす角は $90^\circ$ である。

(2) 直線 BC と直線 EG のなす角

BC と EG は平行であるため、なす角は $0^\circ$ である。

(3) 平面 ABG と平面 EFG のなす角

平面 ABG と平面 EFG の交線は直線 BG である。

点 A から BG に下ろした垂線の足と、点 E から BG に下ろした垂線の足は一致する。

なぜなら、AB = EF かつ ∠ABG = ∠EFG だからである（合同な三角形ができる）。

この垂線の足を H' とすると、∠AH'E が平面 ABG と平面 EFG のなす角である。

直方体の辺の長さを考えると、AB = $\sqrt{3}$、BC = 1 なので、$\tan(\angle ABG) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ となり、$\angle ABG = 30^\circ$ となる。

同様に考えると、$\angle CBG = 60^\circ$ である。

また、$\angle AH'B = 90^\circ$、$\angle EH'G = 90^\circ$ なので、四角形 AH'GE は長方形である。

よって、∠AH'E = 90^\circ となる。

(4) 平面 BDH と平面 CEG のなす角

平面 BDH と平面 CEG は平行であるため、なす角は $0^\circ$ である。

平面 BDH と平面 CEG はそれぞれ直方体を対角線に沿って切断した平面であり、互いに平行である。

3. 最終的な答え

(1) $90^\circ$

(2) $0^\circ$

(3) $90^\circ$

(4) $0^\circ$