平行四辺形ABCDにおいて、$\angle A = 60^\circ$ であり、AB=4cm、AD=6cmである。$\angle A$と$\angle D$の二等分線がBCと交わる点をそれぞれE, Fとする。また、線分AEとDFの交点をGとする。 (6) DG:GF を最も簡単な整数の比で求める。 (7) 面積比 $\triangle AGD : \triangle EGF$ を最も簡単な整数の比で求める。 (8) 線分AEの長さを求める。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、$\angle A = 60^\circ$ であり、AB=4cm、AD=6cmである。$\angle A$と$\angle D$の二等分線がBCと交わる点をそれぞれE, Fとする。また、線分AEとDFの交点をGとする。

(6) DG:GF を最も簡単な整数の比で求める。

(7) 面積比 $\triangle AGD : \triangle EGF$ を最も簡単な整数の比で求める。

(8) 線分AEの長さを求める。

2. 解き方の手順

(6)

AD//BCより、$\angle DAF = \angle AFE$。

$\angle DAF = \angle FAD$（$\angle A$ の二等分線）なので、$\angle AFE = \angle FAD$ となり、$\triangle ADF$は二等辺三角形である。

よって、DF = AD = 6cm。

同様に、$\triangle ABE$も二等辺三角形である。

よって、BE = AB = 4cm。

$\angle DAF=\angle AFE$ より $\triangle ADG$ と $\triangle EFG$ は相似である。

AD = 6cm、FE = BC - BE - FC = AD - AB - AB = 6 - 4 -4 = -2

FC = 4

BE = 4

EC = 2

EF = 6-2*4 = -2

EC=BC-BE

EC=6-4=2

AD//BC より、$\angle DAF = \angle AFE$。$\angle ADF = \angle ADE$ であるから、$\triangle ADG$ と $\triangle FGE$ は相似である。

相似比は AD:FE に等しい。FE = BC - BE - CF。平行四辺形なのでBC = AD = 6。二等辺三角形より、CF = AD = 4。BE = AB = 4。よって、FE = 6-4-4 = -2。長さとしてFE = 2。

相似比は AD:FE = 6:2 = 3:1。

DG:GF = 3:1。

(7)

$\triangle AGD$ と $\triangle EGF$ は相似で、相似比は 3:1。

面積比は相似比の二乗なので、

$\triangle AGD : \triangle EGF = 3^2 : 1^2 = 9:1$。

(8)

$\triangle ABE$は二等辺三角形であり、$AB=BE=4$。$\angle B=180^\circ - \angle A=180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$。

$\triangle ABE$において余弦定理より

$AE^2 = AB^2 + BE^2 - 2 \cdot AB \cdot BE \cdot \cos{\angle B}$

$AE^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \cos{120^\circ}$

$AE^2 = 16 + 16 - 32 \cdot (-\frac{1}{2})$

$AE^2 = 32 + 16 = 48$

$AE = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$。

3. 最終的な答え

(6) 3:1

(7) 9:1

(8) $4\sqrt{3}$ cm