## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

点A(4, 3), B(4, -4) があり、直線 $l: y=3x$ がある。点Aを通り、直線lに平行な直線をmとする。

(i) △OABの面積を求める。

(ii) 直線mの式を求める。

(iii) 直線m上にy座標が負である点Cを、△OABと△OACの面積が等しくなるようにとる。点Cの座標を求める。

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2. 解き方の手順

(i) △OABの面積を求める。

まず、線分ABの長さを計算する。

$AB = 3 - (-4) = 7$

線分ABはy軸に平行なので、原点Oから線分ABまでの距離は、点Aまたは点Bのx座標の絶対値に等しい。したがって、距離は4である。

△OABの面積は、

$S = \frac{1}{2} \times AB \times (ABと原点Oとの距離) = \frac{1}{2} \times 7 \times 4 = 14$

(ii) 直線mの式を求める。

直線mは直線$l: y=3x$に平行なので、傾きは3である。

したがって、直線mの式は $y = 3x + b$ と書ける。

直線mは点A(4, 3)を通るので、

$3 = 3 \times 4 + b$

$3 = 12 + b$

$b = -9$

したがって、直線mの式は $y = 3x - 9$

(iii) 点Cの座標を求める。

点Cは直線m上にあり、$y = 3x - 9$ を満たす。点Cのy座標は負である。

△OABと△OACの面積が等しいので、△OABの面積は14である。

点Cの座標を(x, y)とする。△OACの面積は、

$S = \frac{1}{2} \times 底辺 \times 高さ = \frac{1}{2} \times OC \times 高さ$

△OACの面積は14であるから、線分OAを底辺と考えると、点Cから線分OAに下ろした垂線の長さは、点Bから線分OAに下ろした垂線の長さに等しい。線分OAを底辺とした時、線分ABの長さと、点CからOAに下ろした垂線の長さが等しいので、点Cのx座標は4である。

点Cは直線m上にあるので、

$y = 3x - 9$

$y = 3 \times 4 - 9 = 12 - 9 = 3$

したがって、y座標が負の点Cは存在しない。

△OACの面積が14となるように点Cを求める。点Cの座標を (x, y)とする。

$S = \frac{1}{2} |x_A y_O - x_O y_A + x_O y_C - x_C y_O + x_C y_A - x_A y_C |$

$S = \frac{1}{2} |4 \times 0 - 0 \times 3 + 0 \times y - x \times 0 + x \times 3 - 4 \times y |$

$S = \frac{1}{2} |3x - 4y|$

$14 = \frac{1}{2} |3x - 4y|$

$28 = |3x - 4y|$

$3x - 4y = 28$ または $3x - 4y = -28$

点Cは直線 $y = 3x - 9$ 上にあるから、

$3x - 4(3x - 9) = 28$

$3x - 12x + 36 = 28$

$-9x = -8$

$x = \frac{8}{9}$

$y = 3(\frac{8}{9}) - 9 = \frac{8}{3} - 9 = \frac{8 - 27}{3} = -\frac{19}{3}$

$3x - 4(3x - 9) = -28$

$3x - 12x + 36 = -28$

$-9x = -64$

$x = \frac{64}{9}$

$y = 3(\frac{64}{9}) - 9 = \frac{64}{3} - 9 = \frac{64 - 27}{3} = \frac{37}{3}$

点Cのy座標が負であるのは $C(\frac{8}{9}, -\frac{19}{3})$

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3. 最終的な答え

(i) △OABの面積: 14

(ii) 直線mの式: $y = 3x - 9$

(iii) 点Cの座標: $(\frac{8}{9}, -\frac{19}{3})$