2点$(-1, 4)$と$(5, 4)$を通り、$x$軸に接する放物線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

2点$(-1, 4)$と$(5, 4)$を通り、$x$軸に接する放物線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

$x$軸に接する放物線の方程式は、$y = a(x-p)^2$と表せる。この放物線が2点$(-1, 4)$と$(5, 4)$を通るので、以下の2つの式が成り立つ。

$4 = a(-1-p)^2$

$4 = a(5-p)^2$

これら2つの式から$a$と$p$の値を求める。

$a(-1-p)^2 = a(5-p)^2$より、$a \neq 0$なので、

$(-1-p)^2 = (5-p)^2$

$1 + 2p + p^2 = 25 - 10p + p^2$

$12p = 24$

$p = 2$

これを$4 = a(-1-p)^2$に代入すると、

$4 = a(-1-2)^2$

$4 = a(-3)^2$

$4 = 9a$

$a = \frac{4}{9}$

したがって、放物線の方程式は、$y = \frac{4}{9}(x-2)^2$と表せる。

3. 最終的な答え

$y = \frac{4}{9}(x-2)^2$

$y = \frac{4}{9}(x^2 - 4x + 4)$

$y = \frac{4}{9}x^2 - \frac{16}{9}x + \frac{16}{9}$