ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ について、 $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 1$, $|\vec{a} + 2\vec{b}| = \sqrt{19}$ であるとき、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ の値を求め、さらに、ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求める問題。

4.

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ について、 $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 1$, $|\vec{a} + 2\vec{b}| = \sqrt{19}$ であるとき、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ の値を求め、さらに、ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求める問題。

2. 解き方の手順

(1) $|\vec{a} + 2\vec{b}| = \sqrt{19}$ の両辺を2乗する。

$|\vec{a} + 2\vec{b}|^2 = (\sqrt{19})^2$

$(\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} + 2\vec{b}) = 19$

$\vec{a} \cdot \vec{a} + 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4(\vec{b} \cdot \vec{b}) = 19$

$|\vec{a}|^2 + 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4|\vec{b}|^2 = 19$

$3^2 + 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4(1^2) = 19$

$9 + 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4 = 19$

$4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 19 - 9 - 4 = 6$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

(2) $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos{\theta}$ より、

$\frac{3}{2} = 3 \cdot 1 \cdot \cos{\theta}$

$\cos{\theta} = \frac{3}{2} \div 3 = \frac{1}{2}$

$\theta = \frac{\pi}{3}$ (または 60度)

3. 最終的な答え

(1) 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ の値は $\frac{3}{2}$。

(2) ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ は $\frac{\pi}{3}$ (または 60度)。