複素数 $z$ に対し、複素数平面上の3点A(1), B($z$), C($z^2$) が鋭角三角形をなすような $z$ の範囲を求め、図示する。

1. 問題の内容

複素数 $z$ に対し、複素数平面上の3点A(1), B($z$), C($z^2$) が鋭角三角形をなすような $z$ の範囲を求め、図示する。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABCが存在するための条件を考える。これは3点が同一直線上にないことである。つまり、$z \neq 1$ かつ $z^2 \neq 1$ かつ $z^2 \neq z$ である必要がある。

$z \neq 1$ かつ $z \neq -1$ かつ $z \neq 0$ かつ $z \neq 1$ であるから、結局、$z \neq 0, 1, -1$ である。

次に、三角形ABCが鋭角三角形である条件を考える。

3つの角がすべて鋭角であるためには、以下の3つの条件を満たす必要がある。

(1) $\angle BAC$ が鋭角である条件:

$\frac{z-1}{z^2-1} = \frac{z-1}{(z-1)(z+1)} = \frac{1}{z+1}$ より、$Re(\frac{1}{z+1}) > 0$ が必要である。

$z=x+yi$ とおくと、$\frac{1}{z+1} = \frac{1}{(x+1)+yi} = \frac{(x+1)-yi}{(x+1)^2+y^2}$

したがって、$\frac{x+1}{(x+1)^2+y^2} > 0$ より、$x+1 > 0$ が必要である。（ただし、$z \neq -1$ より$(x+1)^2+y^2 \neq 0$）。

つまり、$x > -1$。

(2) $\angle ABC$ が鋭角である条件:

$\frac{z^2-z}{1-z} = \frac{z(z-1)}{-(z-1)} = -z$ より、$Re(-z) > 0$ が必要である。

つまり、$-x > 0$ より、$x < 0$ が必要である。

(3) $\angle ACB$ が鋭角である条件:

$\frac{1-z^2}{z-z^2} = \frac{(1-z)(1+z)}{z(1-z)} = \frac{1+z}{z}$ より、$Re(\frac{1+z}{z}) > 0$ が必要である。

$\frac{1+z}{z} = \frac{1}{z} + 1 = \frac{1}{x+yi} + 1 = \frac{x-yi}{x^2+y^2} + 1 = \frac{x}{x^2+y^2}+1 + \frac{-y}{x^2+y^2}i$

したがって、$\frac{x}{x^2+y^2}+1 > 0$ より、$\frac{x+x^2+y^2}{x^2+y^2} > 0$ が必要である。

$x^2+y^2 > 0$ より、$x+x^2+y^2 > 0$ が必要である。

$x^2+x+y^2 > 0$ より、$(x+\frac{1}{2})^2 + y^2 > (\frac{1}{2})^2$ が必要である。

以上の条件をまとめると、

$z \neq 0, 1, -1$ かつ $x > -1$ かつ $x < 0$ かつ $(x+\frac{1}{2})^2 + y^2 > (\frac{1}{2})^2$ である。

つまり、$-1 < x < 0$ かつ $(x+\frac{1}{2})^2 + y^2 > (\frac{1}{2})^2$ である。

これを図示すると、

複素数平面上で、Re(z) = -1 と Re(z) = 0 の間の領域で、中心が $-\frac{1}{2}$ で半径が $\frac{1}{2}$ の円の内部を除く。

また、0, 1, -1 の点を除く。

3. 最終的な答え

$-1 < Re(z) < 0$ かつ $|z + \frac{1}{2}| > \frac{1}{2}$

ただし、$z \neq 0, 1, -1$

（図は省略。上記の説明を参照）