長方形ABCDにおいて、AB=DC=2、AD=BC=1であり、辺BC、CDの中点をそれぞれM, Nとする。AB = $\vec{b}$、AD = $\vec{d}$とするとき、以下の問いに答える。 (1) $\vec{AM}$, $\vec{AN}$, $\vec{MN}$, $\vec{DM}$ を、$\vec{b}$, $\vec{d}$ で表せ。 (2) 内積 $\vec{AM} \cdot \vec{AN}$ を求めよ。 (3) 内積 $\vec{MN} \cdot \vec{DM}$ を求めよ。

## 問題3の解答

1. 問題の内容

長方形ABCDにおいて、AB=DC=2、AD=BC=1であり、辺BC、CDの中点をそれぞれM, Nとする。AB = $\vec{b}$、AD = $\vec{d}$とするとき、以下の問いに答える。

(1) $\vec{AM}$, $\vec{AN}$, $\vec{MN}$, $\vec{DM}$ を、$\vec{b}$, $\vec{d}$ で表せ。

(2) 内積 $\vec{AM} \cdot \vec{AN}$ を求めよ。

(3) 内積 $\vec{MN} \cdot \vec{DM}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 各ベクトルを$\vec{b}$と$\vec{d}$で表す。

* $\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BM} = \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{BC} = \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{d}$

* $\vec{AN} = \vec{AD} + \vec{DN} = \vec{d} + \frac{1}{2}\vec{DC} = \vec{d} + \frac{1}{2}\vec{b}$

* $\vec{MN} = \vec{MC} + \vec{CN} = \frac{1}{2}\vec{BC} - \frac{1}{2}\vec{DC} = \frac{1}{2}\vec{d} - \frac{1}{2}\vec{b}$

* $\vec{DM} = \vec{DC} + \vec{CM} = \vec{b} - \frac{1}{2}\vec{d}$

(2) 内積$\vec{AM} \cdot \vec{AN}$を計算する。

$\vec{AM} \cdot \vec{AN} = (\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{d}) \cdot (\vec{d} + \frac{1}{2}\vec{b}) = \vec{b} \cdot \vec{d} + \frac{1}{2}|\vec{b}|^2 + \frac{1}{2}|\vec{d}|^2 + \frac{1}{4}\vec{b}\cdot\vec{d}$

長方形なので、$\vec{b} \cdot \vec{d} = 0$。また、$|\vec{b}| = 2$, $|\vec{d}| = 1$ より、

$\vec{AM} \cdot \vec{AN} = \frac{1}{2}(2^2) + \frac{1}{2}(1^2) = \frac{4}{2} + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$

(3) 内積$\vec{MN} \cdot \vec{DM}$を計算する。

$\vec{MN} \cdot \vec{DM} = (\frac{1}{2}\vec{d} - \frac{1}{2}\vec{b}) \cdot (\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{d}) = \frac{1}{2}\vec{d} \cdot \vec{b} - \frac{1}{4}|\vec{d}|^2 - \frac{1}{2}|\vec{b}|^2 + \frac{1}{4}\vec{b} \cdot \vec{d}$

長方形なので、$\vec{b} \cdot \vec{d} = 0$。また、$|\vec{b}| = 2$, $|\vec{d}| = 1$ より、

$\vec{MN} \cdot \vec{DM} = - \frac{1}{4}(1^2) - \frac{1}{2}(2^2) = -\frac{1}{4} - \frac{4}{2} = -\frac{1}{4} - \frac{8}{4} = -\frac{9}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{AM} = \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{d}$, $\vec{AN} = \vec{d} + \frac{1}{2}\vec{b}$, $\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{d} - \frac{1}{2}\vec{b}$, $\vec{DM} = \vec{b} - \frac{1}{2}\vec{d}$

(2) $\vec{AM} \cdot \vec{AN} = \frac{5}{2}$

(3) $\vec{MN} \cdot \vec{DM} = -\frac{9}{4}$

## 問題4の解答

1. 問題の内容

$|\vec{a}|=3$, $|\vec{b}|=1$, $|\vec{a}+2\vec{b}|=\sqrt{19}$のとき、以下の問いに答える。

(1) 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ の値を求めよ。

(2) 2つのベクトル$\vec{a}$と$\vec{b}$のなす角$\theta$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $|\vec{a}+2\vec{b}|=\sqrt{19}$ の両辺を2乗する。

$|\vec{a}+2\vec{b}|^2 = (\sqrt{19})^2$

$(\vec{a}+2\vec{b}) \cdot (\vec{a}+2\vec{b}) = 19$

$|\vec{a}|^2 + 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4|\vec{b}|^2 = 19$

$3^2 + 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4(1^2) = 19$

$9 + 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4 = 19$

$4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 19 - 9 - 4 = 6$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

(2) 内積の定義 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta}$ より、$\cos{\theta}$ を求める。

$\cos{\theta} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{3/2}{3 \cdot 1} = \frac{3/2}{3} = \frac{1}{2}$

したがって、$\theta = \frac{\pi}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{3}{2}$

(2) $\theta = \frac{\pi}{3}$

## 問題2の解答

1. 問題の内容

2つのベクトル $\vec{a} = (-1, 2)$, $\vec{b} = (1, x)$ について、次の問いに答えよ。

(1) $2\vec{a} + 3\vec{b}$ と $\vec{a} - 2\vec{b}$ を成分で表せ。

(2) $2\vec{a} + 3\vec{b}$ と $\vec{a} - 2\vec{b}$ が平行となるように、$x$ の値を定めよ。

2. 解き方の手順

(1) 各ベクトルを成分で表す。

$2\vec{a} = 2(-1, 2) = (-2, 4)$

$3\vec{b} = 3(1, x) = (3, 3x)$

$2\vec{a} + 3\vec{b} = (-2, 4) + (3, 3x) = (1, 4+3x)$

$\vec{a} - 2\vec{b} = (-1, 2) - 2(1, x) = (-1, 2) - (2, 2x) = (-3, 2-2x)$

(2) $2\vec{a} + 3\vec{b}$ と $\vec{a} - 2\vec{b}$ が平行であるとき、$2\vec{a} + 3\vec{b} = k(\vec{a} - 2\vec{b})$ となる実数 $k$ が存在する。

$(1, 4+3x) = k(-3, 2-2x) = (-3k, 2k-2kx)$

したがって、

$1 = -3k$

$4+3x = 2k-2kx$

最初の式より、$k = -\frac{1}{3}$

これを2番目の式に代入する。

$4+3x = 2(-\frac{1}{3}) - 2(-\frac{1}{3})x$

$4+3x = -\frac{2}{3} + \frac{2}{3}x$

$12+9x = -2+2x$

$7x = -14$

$x = -2$

3. 最終的な答え

(1) $2\vec{a} + 3\vec{b} = (1, 4+3x)$、$\vec{a} - 2\vec{b} = (-3, 2-2x)$

(2) $x = -2$