ベクトル $\vec{a} = (3, -2)$ と $\vec{b} = (2, 1)$ について、以下の問いに答える。 (1) $|\vec{a} + t\vec{b}|$ を $t$ で表す。 (2) $|\vec{a} + t\vec{b}|$ の最小値を求め、最小にする $t$ の値を求める。 (3) (2) で求めた $t$ の値に対して、ベクトル $\vec{a} + t\vec{b}$ と $\vec{b}$ が垂直であることを示す。

## 問題6の解答

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (3, -2)$ と $\vec{b} = (2, 1)$ について、以下の問いに答える。

(1) $|\vec{a} + t\vec{b}|$ を $t$ で表す。

(2) $|\vec{a} + t\vec{b}|$ の最小値を求め、最小にする $t$ の値を求める。

(3) (2) で求めた $t$ の値に対して、ベクトル $\vec{a} + t\vec{b}$ と $\vec{b}$ が垂直であることを示す。

2. 解き方の手順

(1)

$\vec{a} + t\vec{b} = (3, -2) + t(2, 1) = (3 + 2t, -2 + t)$

よって、

$|\vec{a} + t\vec{b}| = \sqrt{(3 + 2t)^2 + (-2 + t)^2} = \sqrt{9 + 12t + 4t^2 + 4 - 4t + t^2} = \sqrt{5t^2 + 8t + 13}$

(2)

$|\vec{a} + t\vec{b}|^2 = 5t^2 + 8t + 13 = 5(t^2 + \frac{8}{5}t) + 13 = 5(t + \frac{4}{5})^2 - 5(\frac{16}{25}) + 13 = 5(t + \frac{4}{5})^2 - \frac{16}{5} + \frac{65}{5} = 5(t + \frac{4}{5})^2 + \frac{49}{5}$

$|\vec{a} + t\vec{b}|^2$ は $t = -\frac{4}{5}$ のとき最小値 $\frac{49}{5}$ をとる。

したがって、$|\vec{a} + t\vec{b}|$ は $t = -\frac{4}{5}$ のとき最小値 $\sqrt{\frac{49}{5}} = \frac{7}{\sqrt{5}} = \frac{7\sqrt{5}}{5}$ をとる。

(3)

$t = -\frac{4}{5}$ のとき、$\vec{a} + t\vec{b} = (3 + 2(-\frac{4}{5}), -2 - \frac{4}{5}) = (3 - \frac{8}{5}, -\frac{10}{5} - \frac{4}{5}) = (\frac{15 - 8}{5}, -\frac{14}{5}) = (\frac{7}{5}, -\frac{14}{5})$

$(\vec{a} + t\vec{b}) \cdot \vec{b} = (\frac{7}{5}, -\frac{14}{5}) \cdot (2, 1) = \frac{7}{5} \times 2 + (-\frac{14}{5}) \times 1 = \frac{14}{5} - \frac{14}{5} = 0$

よって、$\vec{a} + t\vec{b}$ と $\vec{b}$ は垂直である。

3. 最終的な答え

(1) $|\vec{a} + t\vec{b}| = \sqrt{5t^2 + 8t + 13}$

(2) 最小値: $\frac{7\sqrt{5}}{5}$, $t = -\frac{4}{5}$

(3) $\vec{a} + t\vec{b}$ と $\vec{b}$ は垂直である (証明済み)

## 問題7の解答

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、$AB = 4, AC = 5, \angle BAC = 60^\circ$ とする。$BC$ を $t:(1-t)$ に内分する点を $P$ とするとき、$AP \perp BC$ となるような $t$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$\vec{AP} = (1-t)\vec{AB} + t\vec{AC}$

$\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$

$AP \perp BC$ より $\vec{AP} \cdot \vec{BC} = 0$

$((1-t)\vec{AB} + t\vec{AC}) \cdot (\vec{AC} - \vec{AB}) = 0$

$(1-t)\vec{AB}\cdot\vec{AC} - (1-t)|\vec{AB}|^2 + t|\vec{AC}|^2 - t\vec{AB}\cdot\vec{AC} = 0$

$\vec{AB}\cdot\vec{AC} - t\vec{AB}\cdot\vec{AC} - |\vec{AB}|^2 + t|\vec{AB}|^2 + t|\vec{AC}|^2 - t\vec{AB}\cdot\vec{AC} = 0$

$\vec{AB}\cdot\vec{AC} - |\vec{AB}|^2 + t(|\vec{AB}|^2 + |\vec{AC}|^2 - 2\vec{AB}\cdot\vec{AC}) = 0$

$|\vec{AB}||\vec{AC}|\cos{60^\circ} - |\vec{AB}|^2 + t(|\vec{AB}|^2 + |\vec{AC}|^2 - 2|\vec{AB}||\vec{AC}|\cos{60^\circ}) = 0$

$4 \times 5 \times \frac{1}{2} - 4^2 + t(4^2 + 5^2 - 2 \times 4 \times 5 \times \frac{1}{2}) = 0$

$10 - 16 + t(16 + 25 - 20) = 0$

$-6 + t(21) = 0$

$21t = 6$

$t = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}$

3. 最終的な答え

$t = \frac{2}{7}$

## 問題8の解答

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $1:2$ に内分する点を $M$、辺 $OB$ を $3:4$ に内分する点を $N$ とし、線分 $BM$ と線分 $AN$ の交点を $P$、直線 $OP$ と辺 $AB$ の交点を $Q$ とする。$\vec{OA} = \vec{a}, \vec{OB} = \vec{b}$ とするとき、次の問いに答える。

(1) $\vec{OP}$ を $\vec{a}, \vec{b}$ で表す。

(2) $OP:PQ$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$P$ は線分 $BM$ 上にあるので、実数 $s$ を用いて

$\vec{OP} = (1-s)\vec{OB} + s\vec{OM} = (1-s)\vec{b} + s(\frac{1}{3}\vec{a}) = \frac{s}{3}\vec{a} + (1-s)\vec{b}$

$P$ は線分 $AN$ 上にあるので、実数 $t$ を用いて

$\vec{OP} = (1-t)\vec{OA} + t\vec{ON} = (1-t)\vec{a} + t(\frac{3}{7}\vec{b}) = (1-t)\vec{a} + \frac{3t}{7}\vec{b}$

$\vec{a}, \vec{b}$ は一次独立なので、

$\frac{s}{3} = 1-t$

$1-s = \frac{3t}{7}$

$s = 3(1-t)$ を $1-s = \frac{3t}{7}$ に代入して

$1 - 3(1-t) = \frac{3t}{7}$

$1 - 3 + 3t = \frac{3t}{7}$

$-2 + 3t = \frac{3t}{7}$

$-14 + 21t = 3t$

$18t = 14$

$t = \frac{14}{18} = \frac{7}{9}$

$\vec{OP} = (1-t)\vec{a} + \frac{3t}{7}\vec{b} = (1-\frac{7}{9})\vec{a} + \frac{3}{7}(\frac{7}{9})\vec{b} = \frac{2}{9}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$

(2)

$Q$ は直線 $OP$ 上にあるので、実数 $k$ を用いて

$\vec{OQ} = k\vec{OP} = k(\frac{2}{9}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}) = \frac{2k}{9}\vec{a} + \frac{k}{3}\vec{b}$

$Q$ は線分 $AB$ 上にあるので、実数 $u$ を用いて

$\vec{OQ} = (1-u)\vec{OA} + u\vec{OB} = (1-u)\vec{a} + u\vec{b}$

$\frac{2k}{9} = 1-u$

$\frac{k}{3} = u$

$\frac{2k}{9} = 1 - \frac{k}{3}$

$2k = 9 - 3k$

$5k = 9$

$k = \frac{9}{5}$

$\vec{OQ} = \frac{9}{5}\vec{OP}$

$\vec{OP} = \vec{OQ} - \vec{OP} = \vec{PQ}$

$\vec{OQ} = \frac{9}{5}\vec{OP}$ より $OQ = \frac{9}{5} OP$

$OQ = OP + PQ$

$\frac{9}{5} OP = OP + PQ$

$PQ = \frac{9}{5}OP - OP = \frac{4}{5}OP$

$OP : PQ = OP : \frac{4}{5}OP = 1 : \frac{4}{5} = 5 : 4$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OP} = \frac{2}{9}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$

(2) $OP:PQ = 5:4$