三角形ABCの内部の点Pについて、$2\vec{AP} + 2\vec{BP} + 3\vec{CP} = \vec{0}$が成り立つ。このとき$\vec{AP}$を$\vec{AB}$と$\vec{AC}$を用いて表し、さらに直線CPと直線ABとの交点をQとして、$\vec{AQ} = k\vec{AB}$とするとき、$k$の値を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCの内部の点Pについて、$2\vec{AP} + 2\vec{BP} + 3\vec{CP} = \vec{0}$が成り立つ。このとき$\vec{AP}$を$\vec{AB}$と$\vec{AC}$を用いて表し、さらに直線CPと直線ABとの交点をQとして、$\vec{AQ} = k\vec{AB}$とするとき、$k$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{AP}$を$\vec{AB}$と$\vec{AC}$を用いて表す。

$2\vec{AP} + 2\vec{BP} + 3\vec{CP} = \vec{0}$ を変形する。

$2\vec{AP} + 2(\vec{AP}-\vec{AB}) + 3(\vec{AP}-\vec{AC}) = \vec{0}$

$2\vec{AP} + 2\vec{AP} - 2\vec{AB} + 3\vec{AP} - 3\vec{AC} = \vec{0}$

$7\vec{AP} = 2\vec{AB} + 3\vec{AC}$

$\vec{AP} = \frac{2}{7}\vec{AB} + \frac{3}{7}\vec{AC}$

次に、直線CPと直線ABとの交点をQとして、$\vec{AQ} = k\vec{AB}$とするとき、$k$の値を求める。

点Qは直線CP上にあるので、ある実数$t$を用いて、$\vec{AQ} = (1-t)\vec{AC} + t\vec{AP}$と表せる。

また、点Qは直線AB上にあるので、$\vec{AQ} = k\vec{AB}$となる実数$k$が存在する。

$\vec{AQ} = (1-t)\vec{AC} + t(\frac{2}{7}\vec{AB} + \frac{3}{7}\vec{AC})$

$\vec{AQ} = (1-t+\frac{3}{7}t)\vec{AC} + \frac{2}{7}t\vec{AB}$

$\vec{AQ} = (1-\frac{4}{7}t)\vec{AC} + \frac{2}{7}t\vec{AB}$

$\vec{AQ} = k\vec{AB}$ と比較すると、

$1-\frac{4}{7}t = 0$ かつ $k = \frac{2}{7}t$

$1 = \frac{4}{7}t$

$t = \frac{7}{4}$

$k = \frac{2}{7} \cdot \frac{7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\vec{AP} = \frac{2}{7}\vec{AB} + \frac{3}{7}\vec{AC}$

$k = \frac{1}{2}$