図に示す回路のA-B間の合成抵抗が$8 \Omega$の場合、抵抗$r$の値を求める問題です。配線の抵抗は無視できるものとします。

1. 問題の内容

図に示す回路のA-B間の合成抵抗が$8 \Omega$の場合、抵抗$r$の値を求める問題です。配線の抵抗は無視できるものとします。

2. 解き方の手順

まず、回路を整理します。

上側の抵抗$8 \Omega$と$16 \Omega$は直列に接続されています。

下側の抵抗$13 \Omega$と$r$も直列に接続されています。

これらの直列接続された抵抗同士が並列に接続されています。

最後に、$4 \Omega$が直列に接続されています。

上側の直列抵抗の合成抵抗を$R_1$とすると、

$R_1 = 8 + 16 = 24 \Omega$

下側の直列抵抗の合成抵抗を$R_2$とすると、

$R_2 = 13 + r$

$R_1$と$R_2$の並列合成抵抗を$R_{並列}$とすると、

$R_{並列} = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2} = \frac{24(13 + r)}{24 + (13 + r)} = \frac{24(13 + r)}{37 + r}$

A-B間の合成抵抗は、$R_{並列}$と$4 \Omega$の直列接続なので、

$R_{AB} = R_{並列} + 4 = \frac{24(13 + r)}{37 + r} + 4$

問題文より、$R_{AB} = 8 \Omega$なので、

$8 = \frac{24(13 + r)}{37 + r} + 4$

$4 = \frac{24(13 + r)}{37 + r}$

$4(37 + r) = 24(13 + r)$

$148 + 4r = 312 + 24r$

$20r = -164$

$r = -8.2$

計算が間違っているようなので、もう一度解きます。

$R_{AB} = R_{並列} + 4$なので、

$8 = \frac{24(13+r)}{37+r} + 4$

$4 = \frac{24(13+r)}{37+r}$

$4(37+r) = 24(13+r)$

$148 + 4r = 312 + 24r$

$-164 = 20r$

$r = -8.2 \Omega$

rがマイナスになることはないので問題の設定がおかしい可能性があります。もし問題が正しいとすると選択肢の中に答えはありません。

仮に48Ωの抵抗が4Ωだったとしたら答えが変わります。

その場合：

$8 = \frac{24(13+r)}{37+r} + 4$となり、

$8 \Omega = \frac{(8 \Omega + 16 \Omega) \times (13 \Omega + r \Omega)}{(8 \Omega + 16 \Omega) + (13 \Omega + r \Omega)} + 4 \Omega$

$4 \Omega = \frac{24 \Omega \times (13 \Omega + r \Omega)}{37 \Omega + r \Omega}$

$4 \Omega \times (37 \Omega + r \Omega) = 24 \Omega \times (13 \Omega + r \Omega)$

$148 + 4r = 312 + 24r$

$-164 = 20r$

$r = -8.2$

問題文の$8 \Omega$がもし$80 \Omega$だったとしたら？

$80 = \frac{24(13+r)}{37+r} + 48$

$32 = \frac{24(13+r)}{37+r}$

$32(37+r) = 24(13+r)$

$1184+32r = 312+24r$

$8r = -872$

$r = -109$

図を見ると、48Ωの抵抗が4Ωの間違いだと考えられます。それでもrの値は負になるので、問題自体がおかしいと判断せざるを得ません。

あるいは、問題文に記載されている「図に示すA-B間の合成抵抗が8Ωの場合」という部分が誤りである可能性が高いです。

3. 最終的な答え

問題の設定に誤りがあるか、選択肢に正しい答えがないため、解答不能です。