$a$を定数とする。2つの2次方程式 $x^2 + 2ax + a^2 + 4a = 0$ と $x^2 - ax + a^2 + a = 0$ が共通の解をもつような$a$の値と、そのときの共通解を求める問題です。ただし、$a$の値が2つ求まる場合は、$a$の大きい方から順に解答欄に記入し、$a$の大きい方を「ア」、小さい方を「ウ」とします。

1. 問題の内容

$a$を定数とする。2つの2次方程式 $x^2 + 2ax + a^2 + 4a = 0$ と $x^2 - ax + a^2 + a = 0$ が共通の解をもつような$a$の値と、そのときの共通解を求める問題です。ただし、$a$の値が2つ求まる場合は、$a$の大きい方から順に解答欄に記入し、$a$の大きい方を「ア」、小さい方を「ウ」とします。

2. 解き方の手順

2つの2次方程式をそれぞれ(1), (2)とおく。

(1) $x^2 + 2ax + a^2 + 4a = 0$

(2) $x^2 - ax + a^2 + a = 0$

(1) - (2)より

$3ax + 3a = 0$

$3a(x + 1) = 0$

よって、$a = 0$ または $x = -1$

(i) $a = 0$のとき

(1): $x^2 = 0$

(2): $x^2 = 0$

よって、$x = 0$（重解）となり、共通解は$x=0$

(ii) $x = -1$のとき

(1): $(-1)^2 + 2a(-1) + a^2 + 4a = 0$

$1 - 2a + a^2 + 4a = 0$

$a^2 + 2a + 1 = 0$

$(a + 1)^2 = 0$

$a = -1$

(2): $(-1)^2 - a(-1) + a^2 + a = 0$

$1 + a + a^2 + a = 0$

$a^2 + 2a + 1 = 0$

$(a + 1)^2 = 0$

$a = -1$

$a = -1$ のとき、$x = -1$ が共通解

$a = 0$ のとき、$x = 0$ が共通解

$a = 0 > a = -1$なので、

ア: $a = 0$、イ: $x = 0$

ウ: $a = -1$、エ: $x = -1$

3. 最終的な答え

ア: 0のとき、共通解は0

ウ: -1のとき、共通解は-1