全体集合$U = \{x | 1 \leq x \leq 10, x \text{は整数}\}$と、$U$の部分集合$A = \{1, 2, 3, 5, 7\}$、$B = \{2, 3, 8, 10\}$が与えられています。以下の集合を求めます。 (4) $A \cup \overline{B}$ (5) $\overline{A} \cap \overline{B}$ (6) $\overline{A} \cup \overline{B}$ (7) $A \cap \overline{B}$ (8) $A \cup B$

1. 問題の内容

全体集合$U = \{x | 1 \leq x \leq 10, x \text{は整数}\}$と、$U$の部分集合$A = \{1, 2, 3, 5, 7\}$、$B = \{2, 3, 8, 10\}$が与えられています。以下の集合を求めます。

(4) $A \cup \overline{B}$

(5) $\overline{A} \cap \overline{B}$

(6) $\overline{A} \cup \overline{B}$

(7) $A \cap \overline{B}$

(8) $A \cup B$

2. 解き方の手順

まず、$\overline{A}$と$\overline{B}$を求めます。$\overline{A}$は$U$の中で$A$に含まれない要素の集合であり、$\overline{B}$は$U$の中で$B$に含まれない要素の集合です。

$\overline{A} = U - A = \{4, 6, 8, 9, 10\}$

$\overline{B} = U - B = \{1, 4, 5, 6, 7, 9\}$

(4) $A \cup \overline{B}$: $A$と$\overline{B}$の和集合を求めます。

$A \cup \overline{B} = \{1, 2, 3, 5, 7\} \cup \{1, 4, 5, 6, 7, 9\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9\}$

(5) $\overline{A} \cap \overline{B}$: $\overline{A}$と$\overline{B}$の共通部分を求めます。

$\overline{A} \cap \overline{B} = \{4, 6, 8, 9, 10\} \cap \{1, 4, 5, 6, 7, 9\} = \{4, 6, 9\}$

(6) $\overline{A} \cup \overline{B}$: $\overline{A}$と$\overline{B}$の和集合を求めます。

$\overline{A} \cup \overline{B} = \{4, 6, 8, 9, 10\} \cup \{1, 4, 5, 6, 7, 9\} = \{1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

(7) $A \cap \overline{B}$: $A$と$\overline{B}$の共通部分を求めます。

$A \cap \overline{B} = \{1, 2, 3, 5, 7\} \cap \{1, 4, 5, 6, 7, 9\} = \{1, 5, 7\}$

(8) $A \cup B$: $A$と$B$の和集合を求めます。

$A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 7\} \cup \{2, 3, 8, 10\} = \{1, 2, 3, 5, 7, 8, 10\}$

3. 最終的な答え

(4) $A \cup \overline{B} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9\}$

(5) $\overline{A} \cap \overline{B} = \{4, 6, 9\}$

(6) $\overline{A} \cup \overline{B} = \{1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

(7) $A \cap \overline{B} = \{1, 5, 7\}$

(8) $A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 7, 8, 10\}$