全体集合 $U = \{x | 1 \le x \le 10, x \text{ は整数}\}$ と、その部分集合 $A = \{1, 2, 3, 5, 7\}$ と $B = \{2, 3, 8, 10\}$ が与えられています。 (1) $A$ の補集合 $\overline{A}$ (2) $B$ の補集合 $\overline{B}$ (3) $\overline{A}$ と $B$ の共通部分 $\overline{A} \cap B$ (4) $A$ と $\overline{B}$ の和集合 $A \cup \overline{B}$ をそれぞれ求めます。

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{x | 1 \le x \le 10, x \text{ は整数}\}$ と、その部分集合 $A = \{1, 2, 3, 5, 7\}$ と $B = \{2, 3, 8, 10\}$ が与えられています。

(1) $A$ の補集合 $\overline{A}$

(2) $B$ の補集合 $\overline{B}$

(3) $\overline{A}$ と $B$ の共通部分 $\overline{A} \cap B$

(4) $A$ と $\overline{B}$ の和集合 $A \cup \overline{B}$

をそれぞれ求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\overline{A}$ は全体集合 $U$ の要素のうち、$A$ に含まれない要素の集合です。$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ であり、$A = \{1, 2, 3, 5, 7\}$ なので、$\overline{A} = \{4, 6, 8, 9, 10\}$ となります。

(2) $\overline{B}$ は全体集合 $U$ の要素のうち、$B$ に含まれない要素の集合です。$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ であり、$B = \{2, 3, 8, 10\}$ なので、$\overline{B} = \{1, 4, 5, 6, 7, 9\}$ となります。

(3) $\overline{A} \cap B$ は $\overline{A}$ と $B$ の両方に含まれる要素の集合です。$\overline{A} = \{4, 6, 8, 9, 10\}$ であり、$B = \{2, 3, 8, 10\}$ なので、$\overline{A} \cap B = \{8, 10\}$ となります。

(4) $A \cup \overline{B}$ は $A$ と $\overline{B}$ の少なくとも一方に含まれる要素の集合です。$A = \{1, 2, 3, 5, 7\}$ であり、$\overline{B} = \{1, 4, 5, 6, 7, 9\}$ なので、$A \cup \overline{B} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9\}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\overline{A} = \{4, 6, 8, 9, 10\}$

(2) $\overline{B} = \{1, 4, 5, 6, 7, 9\}$

(3) $\overline{A} \cap B = \{8, 10\}$

(4) $A \cup \overline{B} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9\}$