大人4人と子供4人が横一列に並ぶとき、以下の条件を満たす並び方は何通りあるか？ (3) 大人と子供が交互に並ぶ。 (4) 両端の少なくとも1人は大人である。

1. 問題の内容

大人4人と子供4人が横一列に並ぶとき、以下の条件を満たす並び方は何通りあるか？

(3) 大人と子供が交互に並ぶ。

(4) 両端の少なくとも1人は大人である。

2. 解き方の手順

(3) 大人と子供が交互に並ぶ場合

まず、大人が先頭に並ぶ場合を考えます。大人が4人、子供が4人なので、

大、子、大、子、大、子、大、子

という順番になります。大人の並び方は4!通り、子供の並び方も4!通りなので、この場合の並び方は $4! \times 4! = 24 \times 24 = 576$通りです。

次に、子供が先頭に並ぶ場合を考えます。

子、大、子、大、子、大、子、大

という順番になります。子供の並び方は4!通り、大人の並び方も4!通りなので、この場合の並び方も $4! \times 4! = 24 \times 24 = 576$通りです。

したがって、大人が交互に並ぶ並び方は、$576 + 576 = 1152$通りです。

(4) 両端の少なくとも1人は大人である場合

まず、全体の並び方は8!通りです。

次に、両端が子供である並び方を考えます。両端が子供であるためには、両端に子供を並べる方法が、$4 \times 3 = 12$通りです。残りの6人の並び方は6!通りなので、両端が子供である並び方は$12 \times 6! = 12 \times 720 = 8640$通りです。

全体の並び方は、 $8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320$通りです。

両端の少なくとも1人が大人である並び方は、全体の並び方から両端が子供である並び方を引けば求まります。

したがって、両端の少なくとも1人が大人である並び方は、 $40320 - 8640 = 31680$通りです。

3. 最終的な答え

(3) 1152通り

(4) 31680通り