与えられたブール代数の式を簡略化すること。式は $\overline{A(A \cdot B)} + B(A \cdot B)$ です。

1. 問題の内容

与えられたブール代数の式を簡略化すること。式は $\overline{A(A \cdot B)} + B(A \cdot B)$ です。

2. 解き方の手順

まず、ド・モルガンの法則を用いて、 $\overline{A(A \cdot B)}$ を展開します。ド・モルガンの法則は、$\overline{XY} = \overline{X} + \overline{Y}$ です。

$\overline{A(A \cdot B)} = \overline{A} + \overline{A \cdot B}$

さらに、ド・モルガンの法則を $\overline{A \cdot B}$ に適用します。

$\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}$

したがって、

$\overline{A(A \cdot B)} = \overline{A} + \overline{A} + \overline{B} = \overline{A} + \overline{B}$

次に、元の式に代入します。

$\overline{A(A \cdot B)} + B(A \cdot B) = (\overline{A} + \overline{B}) + B(A \cdot B)$

分配法則を適用します。

$(\overline{A} + \overline{B}) + B(A \cdot B) = \overline{A} + \overline{B} + BA \cdot B = \overline{A} + \overline{B} + AB \cdot B$

ブール代数では、$B \cdot B = B$ なので、

$\overline{A} + \overline{B} + AB \cdot B = \overline{A} + \overline{B} + AB$

$\overline{A} + \overline{B} + AB = \overline{A} + A B + \overline{B}$

$\overline{A} + A B = \overline{A}(1) + A B = \overline{A} (1+B) + A B = \overline{A} + \overline{A} B + A B = \overline{A} + B (\overline{A}+A) = \overline{A}+B$

$\overline{A} + AB + \overline{B} = \overline{A} + \overline{B} + AB= (\overline{A}+A)B + \overline{A}+\overline{B}=\overline{A}+\overline{B}+B=\overline{A}+1=1$

したがって、

$\overline{A} + \overline{B} + AB = 1$

3. 最終的な答え

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